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Ciò posto dimostriamo che, quando k è abbastanza grande, il sistema 

 completo \kC \ ha la dimensione: 



r H >. n H — n h -f- P a + 1 . 



Si consideri perciò il sistema |C'| aggiunto a |C| (o il sistema aggiunto 

 ad un multiplo di |C|, quando non esistesse |C'|) e si scelga k così grande 

 che la dimensione del sistema \C + AC|, aggiunto a \(k -\- 1)C|, sia espressa 

 dalla formola: 



r' H+1 = 7i n+ì — 1 -}- P 0 , 



e che inoltre esso seghi sopra una C r una serie non speciale. Indicando con 

 ri , ti il grado e il genere di |C'|, avremo che una C imporrà al più 

 k{2,7i — 2) -f- ri — ti -\- 1 condizioni alle C -f- kC obbligate a contenerla , 

 e quindi il sistema residuo |C -f- kC — C'|=|AC|, avrà almeno la dimen- 

 sione : 



(1 ) r' n+l — k(27i — 2) — ri-\-n'—l = 7i k+1 — k{2n — 2) — ri + n'-\- P a — 2. 

 Ora si osservi che : 

 7r ft+ i = 7i n -j- n + nk — ■ 1 , 7i h = n Q) + k (n — 1) + 1 , 



e che: 



ri 71—71 — 2 , 



come si rileva calcolando il numero delle intersezioni di. una curva del sistema 

 |C -\- C r | con una curva del sistema aggiunto |2G r ] Sostituendo nella espres- 

 sione (1) avremo appunto: 



(2) r k > n h — 7r ft + P a + 1. 



2. Passiamo ora a dimostrare che sulla curva D, sezione di F con una 

 superficie generica K, d'ordine k, le superficie di un dato ordine passanti 

 pei punti doppi della D (che cadono nelle intersezioni di K con la linea 

 doppia di F) segano, fuori di quei punti doppi, una serie lineare com- 

 pleta. 



Per brevità nel seguito le superfìcie passanti pei punti doppi di D , si 

 diranno aggiunte a questa curva, e quelle d'ordine l , s'indicheranno con & 1 . 



Il teorema che si tratta di stabilire è vero per le di un ordine abba- 

 stanza alto ( 2 ) ; e quindi sarà dimostrata la sua validità in ogni caso, allor- 

 quando dal fatto che le <P di un certo ordine l segano su JD una serie com- 

 pleta, avremo dedotto che anche le d* 1 ' 1 segano una serie completa. 



(') Enriques, Introduzione, n. 41. 



( 2 ) Cfr. Castelnuovo, Sui multipli di una serie lineare... (Rendiconti di Palermo, 

 t. VII). 



