Proviamo ora che: 



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e quindi che le <P l ~ l segano su D, fuori dei punti doppi, la serie com- 

 pleta g p v — G . 



Poiché di <P l per G ve ne sono cc x - Hn + z i e di <t> 1 contenenti a ve ne 

 sono oo , \e O l per Gr segheranno su a un sistema 2' di dimensione 



j* - a» + ^| - j*-^ + 2 ) + e,| - i = + 2 ) - 1 - kn +*, -e, . 



Ora questo sistema deve contenere quello segato sul piano a dalle <P' 

 passanti per D ; ma siccome queste (P* , come abbiamo osservato, tagliano 

 su a il sistema di tutte le curve d'ordine l per G, 2' coinciderà con 2 e 

 quindi sarà g f — Oi = Ci. 



Osservazione. Si noti che dal ragionamento precedente segue pure che 

 se esiste la serie g 9 ^ — Gr, esistono certo superfìcie <P' _1 non contenenti D 

 (quelle che segnano la serie stessa). 



3. Dalle proposizioni stabilite al n. 2, si traggono le due seguenti: 



a) Quando P s > 0 e k è abbastanza grande, le superficie di ordine 

 n — 4 aggiunte ad F segano sopra una curva kC una serie completa. 



b) Quando P 9 = 0 e k è abbastanza grande, la serie caratteristica 

 del sistema \kG\ è non speciale. 



Per dimostrare la a) si osservi che le superficie di ordine n — 4 aggiunte 

 alla sezione D di F con una superficie d'ordine k^>n — 4 (le quali segano 

 su D una serie completa), passano in conseguenza per la linea doppia di F, 

 ossia sono aggiunte ad F. 



Per dimostrare la b) si rammenti che le superficie d'ordine n — 4 

 aggiunte a D, supposte esistenti, segano sulla curva stessa, fuori dei punti 

 doppi, gruppi della serie g 2 n k -->-n k residua della serie caratteristica g„ k rispetto 

 alla serie canonica di D ('), e che viceversa, inforza dell'Osservazione con 

 la quale si chiude il n. precedente, allorquando esiste la serie residua sud- 

 detta, esistono superficie d'ordine n — 4 aggiunte alla D. Da ciò segue che 

 se k^>n — 4 non può esistere la serie g^^^ , ossia la serie g n% non 

 può essere speciale, perchè altrimenti esisterebbero superficie d'ordine n — 4 

 aggiunte a D, le quali sarebbero di conseguenza aggiunte ad F: il che con- 

 traddice all'ipotesi P 3 = 0 . 



4. Dimostriamo ora che la deficienza della serie caratteristica del 

 sistema completo |C|, contenente totalmente le sezioni piane di F, non 

 supera P y — P a . 



(!) Enriques, Introduzione, n. 38. 



