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Supponiamo dapprima P 3 ]>0. Sia k così grande che la dimensione di 

 \kG\ soddisfaccia alla (2) e che inoltre le aggiunte ad F di ordine n — 4, seghino 

 su kC una serie completa. Siccome questa serie è residua della serie caratte- 

 ristica g r *~ l rispetto alla serie canonica di kC, in base al teorema di Eie- 

 mann-Roch ne possiamo calcolare la dimensione q, in funzione dell'ordine n K 

 e della dimensione r R -f- ó h — 1 della serie completa che contiene g r *~ l . 

 Così trovasi: 



£ = n k — n R -f r R + ó R — 2 . 

 D'altra parte è anche: 



Q = F a -l, 



perchè se k è abbastanza grande, la curva kG non è contenuta in nessuna 

 aggiunta ad F, di ordine n — 4, onde avremo: 



^ft — n R + r ]{ -4- ó n — 2 = F g — 1 , 



che confrontata con la (2) porge : 



(3) ^ ft < P,-P a - 



Supponiamo ora F g = 0 e scegliamo k così grande che la dimensione 

 di \kC\ soddisfaccia alla (2), e che inoltre la sua serie caratteristica sia non 

 speciale. Dicendo ó R la deficienza di questa serie, avremo : 



n = n H — 7r ft — <? ft -|- 1 , 



la quale, confrontata con la (2), dà: 



4 < — P„- 



Dunque in ogni caso la deficienza della serie caratteristica di \kC\ non 

 supera F g — P a . 



Ora si ricordi che la nostra superficie F è projezione generica di una 

 superficie F 1} priva di punti multipli e normale in uno spazio S r . Poiché 

 sopra una sezione iperpiana generica di F 1 le forme di un ordine k abbastanza 

 alto (>. n — 2) segano una serie lineare completa (non speciale) ('), il sistema 

 completo \kC\ taglierà sopra una sezione piana generica C di F una serie com- 

 pleta. Fissiamo una curva del sistema \(k — 1)C| e per brevità indichiamola 

 con D . Sarà anche completa la serie segata su C dalle kC che passano pei 

 punti comuni a C , D , e se questi punti presentano e ^_(k — l) n condizioni 

 alle kG obbligate a contenerli, la serie suddetta sarà una g n r *r r k-i- s - 1 , la 

 quale conterrà la serie caratteristica g n r ~ l del sistema completo |C|. Dunque 



(') Castelnuovo, Sui multipli di una serie lineare ecc. 



