— 256 — 



la deficienza à di quest'ultima serie sarà espressa da : 



d=%— — r — s. 

 Similmente la serie segata su D dalle kC che passano pei punti comuni 

 , D, e una g^_ v a n , e siccome questa serie contiene la serie caratteristica 



di D , dicendo la deficienza di quest'ultima, avremo : 



àk-i > r k — r A _! — r — e , 



ossia: 



(4) <r. 



Se A fu scelto abbastanza grande, sarà : 



^ft-l — Pff — Pa 1 



e quindi avremo : 



à < P p — P a c . d . d . 



5. Passiamo ad estendere la proposizione dimostrata ad un sistema qual- 

 siasi (irriducibile e almeno oo 1 ). 



Prendiamo perciò come modello projettivo dell'ente oo 2 la superficie F L 

 priva di punti multipli, normale nello spazio S r , e sia | d| un sistema com- 

 pleto irriducibile, almeno oo 1 , privo di punti base su Fj. Le forme (varietà 

 ad r — 1 dimensioni) di ordine k, passanti per una d> segano su F, , fuori 

 di questa curva, un sistema |C 4 |che, se k è abbastanza 'grande, si può sup- 

 porre privo di gruppi neutri di un numero finito o infinito di punti (cioè di 

 gruppi che impongono una condizione alle C 2 obbligate a contenerli) ; e quindi 

 si può riguardare come il sistema rappresentativo di una superficie F 2 , priva 

 di punti multipli, riferita birazionalmente ad F x . Elevando, se occorre, il 

 valore di k, si può esigere che le sezioni D di Fj con le forme di ordine k, 

 seghino sulla curva d (che è priva di punti multipli) una serie completa. 

 Applicando ancora il ragionamento (di Castelnuovo) con cui al n. precedente 

 si pervenne alla (4), avremo : 



<?i < * t , 



ove ài è la deficienza della serie caratteristica di Idi e ó 2 quella della serie 

 caratteristica di |d|, reso completo, ove non lo sia. Ma in virtù della propo- 

 sizione dimostrata al n. 4, si ha: 



<^2 — P<? — P a ; 



dunque sarà: 



ti < P P — P„. 



Se il sistema |d| ha punti base su F! , assegnati con molteplicità vir- 

 tuale uguale all'effettiva, la cosa potrà stabilirsi considerando invece delle 

 curve D, di cui sopra, le sezioni di F! con forme di ordine k assoggettate a 



