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della detta (2) sono zero, per quanto si è disopra detto, mentre la sua se- 

 conda parte per la forinola (3) del paragrafo precedente, e per le (5) resta 

 esattamente eguale alla (7) per e==l. Si ha perciò da formare i (10) per 

 i coefficienti 



supposto r dispari e che le Z soddisfacciano però alle (5). 



Ora per le solite formolo (20"') del paragrafo 3 della Nota IV, i sim- 

 boli (10) relativi alle Yjf'jp sono zer0 > e inoltre quelli relativi alle Z,yy p 

 sono anche zero, perchè queste soddisfanno alle relazioni (5). Eesta così di- 

 mostrata la proprietà enunciata in principio. 



Come corollario risulta che : se ad una forma differenziale si aggiunge 

 un differenziale canonico, le caratteristiche delle matrici 



)M'(, , jM'f, + (M')« , jM'd + (M') 8 + )M'( 3 



,]M'( 1 + (M') 2 + )M'( 3 + --- + (M') r 



se r è pari, e 



(M') t , (M')i + )M'( 2 , (M.% + )M'( 8 + (M') 3 , 



• • , (f')i + )M'(, + (M') 3 + • • ■ + (M'), 



se r è dispari , restano invariate, e questo risultato, di cui dovremo fare 

 delle applicazioni più tardi, è estensione di un teorema da noi già dimo- 

 strato per r = 2 



3. Il differenziale canonico pel caso di r pari, e i suoi covarianti 

 evidenti. — Abbiamo visto che pel caso di r dispari il differenziale canonico 

 è formato mediante i coefficienti Z i quali soddisfanno a tutte le relazioni 



((/i - h > /p+0)z — (O'p+i , jx... ;»)z = 0 



per s> = l,2,.,. r. 



Faremo ora vedere che similmente un differenziale canonico di or- 

 dine r pari può sempre trasformarsi in un altro formato nella stessa 

 maniera j ma in cui i coefficienti Z soddisfanno a tutte le relazioni: 



(11) (0"i -j 9 ,jp+i))z + (O'p+i -Ìp)% — 0 



per q = 1 , 2 , ... n e per qualunque sistema degli indici j; in altri ter- 

 mini, senza togliere generalità, possiamo sempre supporre che un 

 differenziale canonico di ordine pari sia espresso con 



(12) — * V (— iy( r )d r -PZ^ 



p=l Vs/ 



(') Vedi: Estensione di alcuni teoremi di Frobenius, Rend. Ist. Lomb. (2), t. 35, 1902. 



