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dove le Z soddisfacciano a tutte le (11). Questa forma del differenziale cano- 

 nico la chiameremo normale. 



La dimostrazione di questa proprietà è semplicissima dopo quanto 

 abbiamo detto di sopra. 



Sia data un'espressione 



(13) — i J_ (— 1)p Q P ( p> ; 



essa sarà una forma differenziale di ordine r che chiameremo Z (r \ di cui 

 quindi i covarianti evidenti (v. Nota III, § 1), sono le Z ( p\ coi coefficienti 

 Z {non F). 



Per il teorema del paragrafo precedente, le Z soddisferanno alle 



(/l -jr Ì)z = 0 , \ jy ...jr-x Ì\z = 0 , 



ossia, essendo r pari, a tutte le (11), e quindi anche (v. § 2 della Nota VI) 

 a tutte le 



( 14 ) (O'i - jm , /m+i - jp))z + ((jm+ì -jo , ji - jm))z = 0. 



Ora si trova che Z (r) cioè (13) è esattamente eguale a (12), il che 

 significa che ì covarianti di (12) sono esattamente le Z ( P\ che sono le 

 forme mediante cui là (12) stessa è costruita. 



Sviluppiamo infatti (12) come nel paragrafo 2 della Nota IV, ricordando 

 che r è pari. 



Si ha 



=z- + iil[[y 1 ...y p ]]^ 



Ma ricordando la costruzione del simbolo e tenendo conto 



di (14), si riconosce a colpo d'occhio che tal simbolo è sempre zero; dunque 

 del secondo membro della precedente formola non resta che solo Z (r) , il che 

 dimostra l'assunto. 



La proprietà qui dimostrata è l' analoga di quella già dimostrata nel 

 paragrafo 1 pel caso di r dispari. 



4. Soluzione del 'problema II col metodo delle trasformazioni infi- 

 nitesime nel caso di r pari. — Sia 3 una trasformazione infinitesima di 

 quelle considerate nel paragrafo 5 della Nota V, per la quale cioè sia zero 

 il covariante L c> '\ 



Dalla equazione 3f=0 formiamo, come nel paragrafo 1 della Nota VI, 

 una trasformazione finita delle % nelle y e sia 



(15) 



(i = l ,2 , ... n). 



