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Dico che se r è pari, la trasformazione (15) così ottenuta riduce X (r) a 



(16) Y (rt = T (rt — \ 2_ (— 1)? Q d r ~? Z<?> 



dove T (r) non contiene la variabile y n < e la seconda parte è, come si vede, 

 un differenziale canonico di ordine pari. E viceversa, se la X (r) è ridu- 

 cibile al tipo (16), esiste una trasformazione infinitesima 3 per la quale 

 è zero il covariante L Cr) . 

 Si ha così: 



Il problema II per r pari è risolubile semprechè, e solo allora, che 

 la matrice 



(17) (M') r + jMVi + (M f ),- 2 ~\ + )M'd 



abbia caratteristica minore di n. 



Per il caso di r dispari, il risultato, come vedremo, è lo stesso, ma 

 mutando la forma del differenziale canonico, deve naturalmente modificarsi 

 il secondo membro di (16). 



Trasformando la S nelle variabili y, essa diventa al solito: 



(18) r =^^r 



ed essendo L Cr > un covariante, esso, trasformato nelle y si riduce alla sola 

 parte che moltiplica rj n , e perciò, dovendo essere L Cr) = 0 , si hanno le 

 equazioni : 



Ui-j r n)r = 0 



\j v ...jr-i W( T = 0 



(19) 



indicando con Y i coefficienti della X Cr) trasformata, che indicheremo con Y (r) . 



Da queste equazioni cerchiamo ora di ottenere la forma dei valori 

 delle Y. 



Cominciamo col porre 



(20) 



Yì = Tì + Zì, (2 = 1,2, ... — 1) 

 Y n — Zn 



dove le sieno delle espressioni arbitrane non contenenti y n ,_Q le Z con- 

 tengano invece tutte le variabili. 



