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donde poi, come abbiamo osservato nello stesso paragrafo 2 della Nota pre- 

 cedente, deduciamo anche 



(30) (j\~.j\ P +ih = 0. 



Dalla sussistenza della (27), resta così dimostrata anche quella di 

 tutte le 



(31) ]hhU = 0 , Qijz'jzjz = 0 , .... (/, ...;V+i)z'=0 

 (supposto r pari), e quindi poi anche delle 



(32) ((«", ... ù , j\ - jy))z + ((ji - , & ... zV)) z = 0, 



per quanto abbiamo visto nel medesimo luogo sopracitato. 

 Ciò posto, è evidente che si ha: 



dove T <r) contiene z/„ , e Z (r) è la forma differenziale di ordine f, i cui 

 coefficienti sono le Z suindicate. Ora si vede che Z (r) è esattamente un dif- 

 ferenziale canonico, anzi che propriamente si ha 



(33) Z (rt = — i § (— 1 )P Q <f ~p Z ( P> . 



Le Z sono infatti qui sottoposte alle medesime condizioni che nel para- 

 grafo 3 e quindi sussiste la (33). 



Viceversa, supponiamo che una trasformazione delle x nelle y, muti X (r) 

 in una espressione 



dove W (r> sia un differenziale canonico che potremo ridurre sempre, come 

 si sa, a forma normale, e T 00 wow contenga y M . 



Essendo W (r> un differenziale canonico, i simboli 



(ji ••• Jr ì)vt , \ ji «. Jr-i ì\yr, » 



sono, come sappiamo (v. paragrafo 2), tutti zero ; e poiché T (r) non contiene 

 y„ , per essa sono zero quelli fra i suddetti simboli, in cui sia i == n ; lo 

 stesso si avrà dunque per la T (r) , e perciò restano soddisfatte tutte le (19). 



Se ora formiamo la trasformazione infinitesima (18), si riconosce, per 

 le (19), che il covariante L (r) di T (r> e Y è zero; quindi deduciamo che 

 trasformando la Y nella 3 e la T (rt in X (r) , il covariante L (r> di 3 e X (T) 

 deve essere zero; il che è quanto doveasi dimostrare. 



