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fra a(x) e tp(t) passa cioè quella tale corrispondenza funzionale notata per 

 primo dal Laplace ( l ) e nella quale egli designò la cp(t) col nome di fun- 

 zione generatrice, la a(x) con quello di funzione determinante. Il Nielsen 

 ha ricordato ( 2 ) come la sviluppabilità in serie di fattoriali fosse stata già 

 dallo Schlomilch subordinata alla rappresentazione della funzione a(x) sotto 

 forma di un integrale definito del tipo (a), e J. C. Kluyver ( 3 ) ottenne lo 

 sviluppo in serie di fattoriali calcolando la funzione generatrice della fun- 

 zione a(x) mediante il metodo di inversione di integrale definito che egli 

 attribuisce a Kronecker e a Murphy, ma che va fatto risalire al Riemann ( 4 ). 



Le condizioni di sviluppabilità date dal Nielsen si possono esprimere 

 in una forma notevolmente più semplice, quando si generalizzi alquanto 

 l' espressione (a) considerando come variabile 1' estremo superiore dell' inte- 

 grazione, e quando si faccia uso del concetto di ordine di un punto singo- 

 lare, quale è stato introdotto dall' Hadamard ( 3 ). Lo scopo della presente 

 Nota è appunto di mettere in luce il legame fra codesto concetto di ordine 

 e la sviluppabilità in serie di fattoriali: assumendo per tali serie la forma 



00 



(b) a x 7 c n 



~o n x(x-\- l)...(x-\-n) ' 



dove a: e le c„ sono costanti indipendenti da x. Per brevità di scrittura, si 



n ! 



indicherà con vJx) il fattoriale — ; — , . ,' . — ; — : . 



x{x-f- l)...(x-f- n) 



1. Dal citato lavoro di Hadamard ricordiamo anzitutto le definizioni 

 ed i teoremi seguenti : 



Data una serie di potenze 



00 



(1) f{t)=Tc n t n 



0 



avente (0,1) come cerchio di convergenza ( ,; ), s'intende con ordine di un 

 punto t 0 della circonferenza di convergenza un numero reale g tale che, in- 

 dicando con D il simbolo di derivazione e con w un numero qualsiasi, sia 



• (2) *-<■> D- u f{t) 



finita, continua e a scartamento finito nell'intorno del punto t 0 se è 



(') Théorie analytique des probabilités, Paris, 1812. 



C 2 ) Comptes Eendus de l'Académie des Sciences, 30 décembre 1901. 



( 3 ) Nieuw Archief voor Wiskunde, S. II, T. 4, Amsterdam, 1899. 



( 4 ) Werke.. ed. Dedekind e Weber, p. 140. Leipzig, 1876. 



( 5 ) Nel suo Essai sur Vétude des fonctions données par leur développement de 

 Taylor. J. de Math., S. IV, T. Vili, 1892. 



( 6 ) Con (a , b) indicheremo abbreviatamente il cerchio avente per centro il punto a 

 e per raggio il numero positivo b. 



