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R(w) >• g ('), ma cessi di essere tale se è K(w) <Cg. Se il punto te, non è 

 singolare per la funzione analitica f(t) definita dalla serie (1), il suo ordine 



è - CO (*). 



L'ordine di f{t) sulla circonferenza di convergenza è un numero reale g x 

 tale che la (2) sia finita, continua e a scartamento finito su tutta la circon- 

 ferenza (0,1), se è R(w) ^_gi, ma che cessi di essere tale per K(wX#i. 

 In modo analogo si definisce 1' ordine di f(t) sopra un arco della circonferenza. 



L'ordine di f(t) sulla circonferenza di convergenza è uguale al massimo 

 limite ( 3 ) del rapporto 



logici 

 log n 



(o caratteristica della successione a n ), aumentato di un' unità. 



L'ordine di f{t) sopra un arco della circonferenza è il limite superiore 

 degli ordini nei punti di questo arco. 



Se su un arco compreso fra gli argomenti 6 X e 0 2 l'ordine g di f{t) è 

 positivo, si avrà 



(3) lim(l — Q y>f{Qé*) = 0 



per R(<») ^> g , uniformemente per i valori di 6 compresi fra 0j e 6» 2 . Se 

 l'ordine è negativo o nullo, la (3) vale per R(w) > 0. • 



2. È facile di estendere le definizioni precedenti al caso, che a noi in- 

 teresserà in ciò che segue, di una serie 



00 



(4) SP(0=Z c 'n(t — a) n 



71=0 



avente (a , r) come cerchio di convergenza. Il suo ordine sarà il numero 

 g = k -f- 1 , essendo k la caratteristica della successione c„ r n , e si avrà 

 uniformemente rispetto a 0 : 



(3') lim é w (p (a -j- (r — e) e iò ) = 0 



5=0 



per R(w)>># se è g^>0. Se s è un punto singolare di <p(t) sulla circon- 

 ferenza (a , r) l' ordine di s sarà un numero g 0 <. g . E importante di 

 notare che se si prende dentro al cerchio (a , r) un punto a' che sia più 

 prossimo ad s che ad ogni altro punto singolare di y.(t) e si deduce, collo 



Q) Con E(a) si intende la parte reale del numero complesso a. 



( 2 ) I punti di ordine — oo si comprenderanno perciò fra quelli d'ordine finito. 



( 3 ) La plus grande des limìtes secondo l'espressione di Cauchy. 



