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sviluppo di Maclaurin, lo sviluppo di <p(t) in serie di potenze di t — a', 

 l'ordine di questo sviluppo sulla propria circonferenza di convergenza sarà 

 ancora g 0 . 



3. Abbiasi ora un ramo ad un valore di funzione analitica y(t) , data 

 in una stella di Mittag-Leffler A di centro c , dove c è un punto del piano t 

 differente da t = 0. Il punto t = 0 sia un punto singolare del ramo di fun- 

 zione <p{t) , e perciò posto al contorno della stella. Preso un punto a co- 

 munque nell'interno della stella, dovrà verificarsi uno dei tre seguenti casi : 



a) 0 il cerchio è tutto interno alla stella, e sulla sua cir- 

 conferenza si trova il solo punto singolare t = 0 . 



b) 0 il cerchio (a , \ a | ) è tutto interno alla stella, ma sulla sua cir- 

 conferenza, oltre a t = 0 , si trovano altri punti singolari di y>{t). 



e) 0 infine il cerchio (#,|<z|) non è tutto interno alla stella. 



4. Sia dapprima un punto a che appartenga al primo dei tre casi ora 

 enumerati. Se accade che, per un tale punto, l'ordine della serie di potenze 



(4') y(0= ^LM 



»=o n : 



sulla sua circonferenza (<z,|a|) di convergenza sia finito ( ! ) e uguale a g, 

 esso ordine sarà finito e uguale a g per gli sviluppi relativi a tutti gli altri 

 punti appartenenti a quello stesso primo caso. Potremo dire allora, senza 

 riferimento ad alcun sviluppo (4'j speciale, che il punto t = 0 è punto sin- 

 golare d'ordine finito g per il ramo (p{t) di funzione analitica. Supporremo 

 dapprima g ^> 0. 



Prendiamo a considerare l'integrale 



(5) \\{t)t*- 



1 dt, 



dove l'integrazione va fatta lungo una linea semplice 1 congiungente o ad a 

 senza uscire dalla stella A. L'integrale, sotto questa condizione per 2, è 

 indipendente da codesta linea; in particolare si può prendere X tutta entro 

 il cerchio (a ,\a\). Dalla (3') segue che l l0 (p(t) tende a zero per t = 0 

 per K(w) >• g , e quindi l' integrale (5) è convergente nel semipiano definito 

 da K(^) ^> g. Ma se £ è un punto della linea l, prossimo a t = 0 quanto 

 si vuole, la serie (4') sarà uniformemente convergente fra £ ed a e si potrà 

 integrare termine a termine ; osservando che 



J\t — a) n t x ~ l dt = (— l) n (a n+oc — s n+x ) 



x{x -f- 1) ... {x + n) ' 



i 1 ) Si include, come si è avvertito, il caso di g — — oo . 



