si otterrà 



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C a v 2 - a> ( " > (a) 



<p{l) t x ~ l dt = }_ (— 1)" y ' (a n ^ — e n+ *) ri n {x). 



Qui la serie del secondo membro converge assolutamente ed uniformemente 

 rispetto ad x entro il semipiano R(.x) > g , e tende per e = 0, alla serie 



„(») fl n 



(6) a^(-l)"^-^^), 



pure uniformemente convergente rispetto ad x nel semipiano stesso ( ! ). È 

 allora applicabile, per un noto teorema del Dini, V integrazione termine a 

 termine fra 0 ed a alla serie (4') moltiplicata per l x ~ l , e si ha così l'ugua- 

 glianza, valida nel detto semipiano R(x) > g : 



(6 r ) 9 >(t)t*- 1 dt = a?X(—l) n , 



al § 2. Qui la caratteristica k del sistema t , cioè l'ordine k-\-\—g 



5. Il punto a si trovi invece nel secondo dei tre- casi casi enumerati 



(f{ n )Ja) a n 



»! 



della serie (4'), non dipenderà più dal punto t = 0 soltanto; ma (per le 

 proposizioni già citate di Hadamard) anche dagli altri punti singolari di <p(i) 

 posti sulla circonferenza (a,\a\). Se g è l'ordine del punto ^ = 0, si avrà 

 g' ^g. L'uguaglianza (6') avrà ancora luogo; solo, mentre il primo membro 

 ha significato per R(<rX> g, il secondo membro avrà validità nel semipiano 

 R(«r) > g', generalmente contenuto nel precedente, e solo entro quest'ultimo 

 semipiano è valida 1* uguaglianza (6'). 



6. Veniamo ora al terzo caso, in cui il raggio di convergenza dello 



lì \-\Wk I w in) (a) a n 



sviluppo (4') è inferiore ad lai. In tale caso, la caratteristica di - — — 



ii n \ 



è evidentemente uguale a -j- oo , e quindi la serie di fattoriali che figura 

 nel secondo membro di (6') è costantemente divergente. Ma in questo caso, 

 si prenda sulla linea d' integrazione uu punto c abbastanza prossimo a 1 = 0 

 perchè codesto punto c venga ad appartenere al primo caso ; si spezzi l' inte- 



(') Basta ricordare (v. p. es. la mia Nota in questi Eendiconti, seduta del 16 feb- 

 braio 1902) che il campo di convergenza assoluta ed uniforme di una serie di fattoriali 

 2c n r\ n {x) è il semipiano B.(x)^> k dove k è la caratteristica del sistema c n . 



