— 341 — 



graie (5) nella somma 



-'O v'C 



dt 



Il primo integrale, per ~R(x) > , si sviluppa come è indicato al § 3 ; 

 in quanto al secondo, esso è una funzione intera di x. Ponendo in esso 



i* = ( a ' + t — a') 00 , 



dove \a'\ sia preso abbastanza grande per superare \t — a'\ lungo tutta la 

 linea d'integrazione fra c ed. a, esso diviene 



e, sviluppando colla serie binomiale, viene per esso lo sviluppo convergente 

 in tutto il piano: 



f , x{x—l) ...(x — n + 1) 

 a V " 1.2.3 ...4? 



dove 



T>1 . „ ,., ■ i x(x — 1) ...{x — w-f-1) . , i • • 



Il fattoriale — — — ■ può, per molteplici ragioni, con- 

 siderarsi come una funzione rj n {x) per valori negativi dell' indice, e perciò in 

 questo caso si può dire che l'integrale (5) è sviluppabile in una serie di 

 fnnzioni rj n (x) in cui n varia da — oo a -\- co . 



7. Fin qui abbiamo supposto g > 0 ; però questa restrizione non è af- 

 fatto essenziale; mostriamo infatti cbe per g ^.0, la relazione (6') è valida 

 per Ji(x) > 0. Supponiamo la singolarità t = 0 della funzione <p(t) di or- 

 dine g compreso fra — jo -j— 1 e — p, dove p è intero positivo; è chiaro 

 che gli integrali 



)(p(t) t x ~ l dt , j V(0 t x ~ l ^ i - )<P ip ~"(t) l x ~ l dt 



•J 0 J 0 ^ 0 



saranno convergenti per Ji(x) > 0 , mentre 



I V ?) (0 t x ~ x dt, 



dove la «^(tf) è di ordine positivo g-\-p, converge per B.(x)^> g -\-p- Per 



Rendiconti. 1903, Voi. XII, 2° Sera. 45 



