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questi valori di x si ha dunque, applicando p volte l'integrazione per parte: 



(7) C a <p(i)tx-i dt = 



[>M a<p'(a) , , - VJ5 _, a*- V^(a) 



x{-C-{- 1) ... (.2 4"^ — 1) 



x{x -f- 1) ••■ + p — 1). 

 Qui l' ultimo integrale è, per E(^) >> </ , sviluppabile in serie della forma 



a x 2c n ì] n (x -\-p), 



e quindi il secondo membro della (7) dà una serie della forma (6), conver- 

 gente assolutamente per B(V) > g , ad eccezione dei punti x = 0 , — 1 , 

 — 2 , ... — p -f- 1 . dove essa diventa infinita del primo, ordine. L'uguaglianza 

 fondamentale (6') vale dunque solo per R(x) ^> 0, sebbene il secondo membro 

 di essa conservi significato in tutto il semipiano U(x)^>g. 



8. Le considerazioni precedenti si riferivano al caso di un punto t = 0 

 posto al contorno della stella A, e quindi, in generale, singolare per g>(t). 

 Ma per il caso in cui t = 0 sia un punto regolare per le cose pre- 



cedentemente dette rimangono valide, colla circostanza favorevole che la 

 caratteristica dei coefficienti della serie (6) è — oo , e quindi, mentre 

 il primo membro della (6') è convergente per R(x) > 0, la serie del secondo 

 membro converge assolutamente in tutto il piano, eccettuati i poli del primo 

 ordine 0, — 1, — 2, — 3,...; codesto secondo membro è dunque una 

 funzione meromorfa (trascendente fratta). 



10. È facile di vedere che la condizione trovata dianzi come sufficiente 

 per lo sviluppo di una funzione (5) in serie di fattoriali, che cioè £ = 0 

 sia per (p(t) punto regolare o singolare d'ordine finito, è anche necessaria. 

 Sia infatti 



(8) a* 2 c n r Jn (x) 



una serie di fattoriali, in cui la caratteristica di c n sia finita ed uguale 

 a g — 1 Pongo 



(9) y(0 = 1 °f n (< - aY . 



(') Se la caratteristica fosse -f- oo , la serie (8) non potrebbe convergere per alcun 

 valore di oc. Se fosse g = — oo, il raggio di convergenza di (9) potrebbe anche essere 

 >-|a|, e t = 0 sarebbe certamente punto regolare per </>(()• 



