Ora se le Zj l ...j m (m = 1 , 2 , . . . s) sono le derivate sino a quelle di 

 ordine s di /, i simboli 



((Ì,jl -jm))z , (w = l,...s — 1) 



sono tutti zero ; ina se facciamo i = n abbiamo evidentemente 



((n,jì -jm))z = ({n,j\ .../«)).* 



perchè le Y di cui un indice sia n sono eguali rispettivamente alle Z, 

 dunque nel caso indicato è evidente che C <s-1> = 0. 

 Viceversa se C (s ~° = 0 , si avranno le equazioni 



(18) ((n,j\...j m )) r = 0 (m = l,2...s — 1) 



e quindi, per quanto si è ora detto: 



((» > h •■■ /m))z = 0 (m = 1 , 2 , ... s — 1) . 



Di qui può dedursi che le Z sino a quelle ad s indici sono le derivate 

 di una f. 



Per veder ciò basta tener presenti i calcoli eseguiti nel paragrafo 4 

 della Nota precedente, e nel paragrafo 1 di questa Nota. 

 Sia r pari. Poniamo, ciò che è sempre lecito, 



Da ((«,0)z = 0 e ]in[ z = 0 si deduce (in) z = 0 e allora da (19) 

 si ha 



W 



(20) Z ( = 



tifi 



a meno di una parte che, non dovendo dipendere da y n , la intenderemo in- 

 clusa in Ti. Da (20) e dal valore di Zy già trovato nel paragrafo 4 della 

 Nota VII, deduciamo 



(21) Z«= 1 . 



Da ((w , a j)) z = 0 , si deduce 



(22) Z m — 



mentre da {(n , » / h)) z = 0 e jaj A rc( z = 0 si deduce (ij h n) z = 0 e 

 quindi, a meno di una parte indipendente da y nì 



(23) Z ijh = ìY 



tyj ^ "ty» 



Rendiconti. 1903, Voi. XII, 2 n Sem. 57 



