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Da queste e dalla formola (26) del paragrafo 4 della Nota precedente 

 si deduce che Z^* è anch'essa la derivata quarta di f. 



Così seguitando e ricordando che s è pari, da ((n ,j\ ... j s - 2 ))z = 0 si 

 deduce Z W j 1 ... i? - s _ 2 come derivata (s — l) ma di f; indi da 



((« , /, ... y s -i)) z == o e jy, ... y s _i «} z = o 



si deduce 



(/i -js-x n) z = 0 



donde, come sopra, il valore di Zy, ...#_„ come derivata (s — l) ma di /; 

 infine da jy 1 ...y s j z = 0 si ha il valore di Zj r ..j s come derivata s ma , e ciò 

 dimostra l'assunto. 



Sia ora r dispari, e quindi anche s dispari. Le forinole (4) e (6) del 

 paragrafo 1 di questa Nota danno già le Zj eguali alle derivate prime di /. 



7>V 



La ((n,i)) z = 0 dà allora 7i in = — — — , e dalle ((n , ij)) z = 0 e ]ijn{ z = Q 



^Vi "Un 



si deduce {ij n) z = 0 donde, a meno di ima parte indipendente da y n , 



7>ij= — -- — . Da questa e dalla formola (11) resta Z^ eguale alla deri- 



vata terza di f. Così seguitando si procede come sopra, e resta così com- 

 pletamente dimostrato il teorema. 



Un caso degno di essere posto in speciale rilievo è quello di s = r . 

 In tal caso si ha la trasformazione della forma X <r> in una con una varia- 

 bile di meno più il differenziale r mo di una funzione, e le condizioni a ciò 

 sono nell'esistenza di una trasformazione infinitesima 3 per cui sia L (r) =0 

 a C (r_1) = 0, che cioè, applicata a X (rt , la riduca al differenziale r mo del- 

 l' invariante A . 



Raccogliendo abbiamo dunque il seguente risultato : 



Condizione necessaria e sufficiente perchè la forma X (r) si possa 

 trasformare nella somma di una con una variabile di meno, e di un dif- 

 ferenziale r mo esatto, è che esista ima trasformazione infinitesima 3 per 

 cui sieno zero i covarianti L (r> e C (r-1) , e che quindi sia tale che 



3X W = d r A , 



e tutte le trasformazioni finite di tale specie si formano da una 3 nel 

 modo più volte indicato (v. principio del paragrafo 1 della Nota VI). 

 0 anche (vedi paragrafo 5 della Nota VI): 



La predetta condizione necessaria e sufficiente è che la matrice 



J_ [(M% + ]M'( S ] + (M') r 



s=i 



abbia caratteristica minore di n. 



