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E ancora: 



Se la caratteristica della predetta matrice è v, si può sempre tras- 

 formare X (r) nella somma di una forma con sole v variabili, e di n — v 

 differenziali r mi esatti rispettivamente a n ,n — 1 , ... v-\- 1 variabili. 



3. Problema di riduzione per le forme differenziali di 1° ordine e 

 r mo grado. — Per completare la nostra ricerca, trattiamo ora, come già 

 nelle Note precedenti (v. Nota II, § 5; Nota III, § 5; Nota V, § 6) del 

 caso in cui nella X (r) sieno zero tutti i coefficienti con un numero di indici 

 minore di r. 



Dei due problemi di riduzione enunciati nella Nota VI, diventa in 

 questo caso impossibile il secondo, almenochè di esso non si voglia consi- 

 derare un caso degenere, il quale poi a sua volta può considerarsi meglio 

 come caso particolare del primo. 



Infatti nel nostro caso le espressioni che abbiamo chiamate differenziali 

 canonici non esistono più, se vogliamo che essi sieno dello stesso tipo della 

 forma fondamentale; perchè ricordando che le Z mediante cui essi sono 

 costruiti, soddisfanno alle 



O'i - ;V+i)z = 0 , )/, ... j r [,. = 0, 



ed essendo Z <r) dello stesso tipo della forma fondamentale, cioè essendo zero 

 tutti i suoi coefficienti meno quelli a r indici, delle precedenti equazioni 

 non si possono costruire che solo le due prime, mentre la ]j\ ... j r [ z = Q si 

 riduce a Z ?1 .. y v = 0, e quindi la Z (rt svanisce. 



D'altra parte il considerare una Z (r) di tipo diverso che la forma fon- 

 damentale, sarebbe inutile, perchè con una qualunque trasformazione di varia- 

 bili, questa conserva il suo tipo, e quindi se deve trasformarsi in T 00 -J- Z Cr \ 

 è naturale che ambedue queste nuove forme sieno presupposte, come la pri- 

 mitiva, di 1° ordine e r mo grado. 



Passando ora al primo problema di riduzione, basta tener presente quanto 

 abbiamo osservato nel paragrafo 6 della Nota V, che, cioè, per le trasforma- 

 zioni infinitesime per le quali è L (r) = ,uX <r> , è anche C (rW> = 0; ricor- 

 dando allora il risultato del § 1 della Nota VI, risulta: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè la forma data di 1° ordine 

 e r mo grado si possa trasformare, a meno di un fattore, in una con una 

 variabile di meno è che la matrice )M( r _! -(- (M) r abbia caratteristica v 

 minore di n -\-\. Ciò verificato, si può sempre trasformare la forma 

 nel prodotto di un fattore finito per un'altra forma contenente v — 1 

 variabili. 



Se poi la forma deve trasformarsi, senza fattore, in una con una 

 variabile di meno, ricordando sempre quanto abbiamo detto al paragrafo 1 

 della Nota VI, la condizione necessaria e sufficiente a ciò è che la ma- 



