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di A, e si consideri l'espressione, dove l'integrazione s' intende estesa lungo 

 quella linea : 



(3) <f>(t)t x -' dt 



0 



Per tutti i valori di & interni ad A e per tutti i valori di x la cui 

 parte reale è positiva, questa espressione, quando sia impedito alla linea l 

 (p. es. mediante un taglio da o al contorno della stella), di girare intorno al 

 punto t = 0 , rappresenta una funzione analitica regolare delle due variabili 

 z ed x , indipendente dalla scelta della linea l. Rappresenteremo questa fun- 

 zione con a(x , z). 



Ora, se è \z\<^r, si può in (3) sostituire alla <p(t) il suo sviluppo (2). 

 ed integrare termine a termine, per la convergenza uniforme dello sviluppo 

 lungo la linea d'integrazione che ora può farsi coincidere col segmento ret- 

 tilineo fra 0 e z; ne viene: 



(4) a(x ,z) = z x ^_ 



Cn Z n 



=o X ~ J~ il 



Sotto questa forma, si vede come la funzione a(x , z) come funzione di 

 x, non sia definita solo per R(a?)>0 ('), ma come essa risulti una funzione 

 meromorfa definita in tutto il piano, coi soli poli del primo ordine nei punti 

 x = 0, — 1, — 2 , — 3, ... e coi rispettivi residui éo,Ci,Ct, ... purché 

 il valore di z sia preso interno al cerchio di centro 0 e di raggio r . Ma, per 

 la (3), la funzione a(x, z) si può continuare in tutta la stella A ; si tratta 

 ora di vedere se, anche per i punti z di A per i quali sia |^| >. r, la a(x , z) 

 sia ancora una funzione meromorfa in tutto il piano x e quale ne sia l'espres- 

 sione analitica. 



3. Che a(x,z) sia anche nel caso di funzione meromorfa con 



soli poli di prim'ordine nei punti 0, — 1, — 2,... e cogli stessi residui 

 c 0 , <?i , C-i , . . . , è subito visto. Basta prendere sulla linea l un punto z tale 

 che sia \z'\ <,r, e spezzare l'integrale (3) in 



g>(t) V*~ x dt + g>(t) t x ~ l di. 



Il primo di questi dà luogo ad una espressione (4), il secondo è ma- 

 nifestamente una funzione intera (trascendente in generale) di x. 



4. Si tratta ora di trovare l'espressione analitica di questa funzione me- 

 romorfa, che la rappresenti in tutto il piano x ed in tutta la stella A. 



A questo scopo, si applichi alla funzione meromorfa col polo di prim'or- 

 dine nel punto x = — n e col residuo rispettivo c n z n (n = 0 , 1 , 2 , . . .) il 



(') Con K(a) si intenda « la parte reale di « ». 



