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Per \s\ <C.r le Q n (s) sono dunque date dalle serie di potenze conver- 

 genti : 



wj— ^ ~f~ 4- 1)- ~i ' ' ' 



Ma fra codesti sviluppi e q>(z) si hanno manifestamente le relazioni 

 ricorrenti : 



\^)=JJ{^- C -^)di, (»=1,2,3,....) 



e, per quanto si è osservato, queste relazioni rimangono, mediante la conti- 

 nuazione analitica, valide in tutta la stella. Esse risolvono pertanto il pro- 

 blema che ci siamo proposti, cioè : « la rappresentazione, mediante una 

 •« espressione analitica valida in tutto il piano x e in tutta la stella A del 

 « piano s, della funzione a{x,z) che, limitatamente ai valori K(#) > 0 è 

 « definita dall' integrale 



\~<p(t) t*- 1 dt, 



* dove <p(t) è una serie di potenze di t convergente in un intorno di t = 0 

 « e continuabile analiticamente in tutta la stella A. Questa espressione è 



r~ «(*,*>=!(- 1)" Jf^V) + 1 (- l)' 1 " 1 «*(*) x n ~\ 



« dove la seconda sommatoria è una funzione intera trascendente di x , i 

 « cui coefficienti sono determinati dalle relazioni ricorrenti (7) » . 



Nel tempo stesso, si può, secondo i noti concetti del Borei, dire che 

 la a{x,g) dà la somma della serie (4) nella porzione della stella A esterna 

 al cerchio di convergenza \s\ = r della serie stessa. 



