in cui le funzioni (p e ip s sono note, determinare tutte le funzioni f(x) 

 che la soddisfanno. È chiaro che il problema sarebbe più facile, se la fun- 

 zione da determinare dipendesse dalle due variabili x e y; perchè tutte le 

 soluzioni dell'equazione differenziale 



% i%,y) + Vi -^ZT + • • ' + ^nix^ij) = (p'(x), 



supposto <p (0) = 0, risolverebbero il problema. Orbene, sono precisamente 

 queste funzioni che io chiamo ausiliarie; perchè la loro considerazione è 

 molto utile per l'applicazione del metodo delle approssimazioni successive. 



Io mi limito qui a considerare i casi in cui n = 0 e n = 1 , perchè 

 danno luogo a risultati più concreti e precisi. Lo studio degli altri casi 

 richiede la conoscenza di certe proprietà degli integrali dell'equazioni diffe- 

 renziali, che io non ho ancora indagate. 



1. Il caso particolare di Abel fu trattato da parecchi autori in varie 

 maniere. Tuttavia mi è sembrato interessante di considerarlo a parte, perchè 

 coli' aiuto delle funzioni ausiliarie, dianzi definite, si risolve con un tratto 

 di penna. Infatti, abbiasi a determinare f(x) in guisa che sia 



essendo (f(a) nota e n un numero positivo minore dell'unità. 



Supponendo per ora <p (0) = 0, la funzione ausiliaria' è data evidente- 

 mente dall'espressione 



¥(a,x) = <f'(x) (a — x) n . 



Per dedurre da essa una funzione della sola x che pur soddisfaccia alla (1), 

 basta osservare che in generale 



rx 



$(x,y)ip(x,y) dy 



è funzione della sola x; onde se poniamo nella (1) questa espressione al 

 posto di f(x), e invertiamo l'ordine delle integrazioni, avremo 



ra f a 'E(a;,y)ìf)(x,y) , C a << * , f a (^ — y) n V j 



' W -J.*J, </-«r "fr-J.'WfrJ, M^.rt*; 



talché, se si potrà determinare if> in guisa che risulti 



