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Di qui possiamo dedurre una funzione della sola x ponendo y = x \ ma non 

 soddisferà la (2); per cui porremo 



ove 



f(x) = Z 0 (x)+f l (x), 



ip(x,x) 



e cercheremo di determinare la /\(x). Sostituendo in (2), si ottiene 



rv ry 

 <t{y)—\ Z 0 (x)ìp(x,y) dx= \ fi(x)xp(x,y) dx, 



ossia 

 (2') 



9ì(y) 



f x {x) ip(x,y)dx, 



ove y>i(y) sta a rappresentare il 1° membro tutto noto. Ma questa equazione 

 è della stessa forma della (2), e </>i(0) = 0; dunque possiamo per essa ripe- 

 tere il rasrionamento ora fatto. La funzione ausiliaria è 



I\(#,y) = 



onde noi porremo, come sopra, 



f{x,y) ' 



fi(x) = Zi(x) + fz(x) con Z l (x) = 



Ma dall'espressione di g>i(y) si trae 



(p[(x) = (<p'( 



x) 



Z 0 (x) ~^-dx 



) <>y 



— Z 0 (x) tp(x,x)\ = 



l=x / 



= — Z 0 ($)ip 2 (£,x)d£; 



per conseguenza sarà 



Sostituendo ora nella (2') l'espressione di fi(x), si ottiene per f 2 (x) 

 una equazione come la (2); sulla quale ripetendo lo stesso ragionamento, e 

 seguitando poi oltre quante volte si voglia, si trova 



f(x) = Z 0 + Z, -f • • • + Z n + f n+x {x) , 



ove 



(3) Z 0 (x) = 



y(x,x) 



Z n (x) 



1 



y(x,z)J 0 

 (^==1,2,3...) 



e f n +i{x) soddisfa un'equazione come la (2). 



Z„_i(£) if> t (§,z) dì 



