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Orbene è facile mostrare che, facendo crescere n indefinitamente, la 



serie 



Z 0 + Z, + • • • + Z„ + 



è convergente in ugual grado nell' intervallo |0,a|, e rappresenta la f{x) 

 che risolve l'equazione (2). Infatti, sia in detto intervallo 



| y{x) |< L , | if) t (£ ,x)\ < Lx , \ip(x,x)\ > l . 



Allora 



17.1 < 



l l l 



Z 0 | <. T ,|Z 1 |^ T — d, 



L L, 



I ■■— 



e in generale 



2| ~ l l 



^j>< ? ,H-f(7) !| f' 



il che dimostra il primo asserto. Dopo ciò il secondo asserto è dimostrato 

 dal procedimento stesso, che ha servito al calcolo dei successivi termini della 

 serie. Tuttavia, se lo si vuol provare direttamente, basta derivare la (2) rispetto 



00 



a y e porre f(x) = ^_Z n (x). Si ottiene infatti 



o 



<p'(y) 



/O) ip 2 (x,y)dx=f(y), 



ossia 



My) — 2- ìll( „ , A 7in{z)rpi{%,y)dx = 2_My)\ 

 o riy^yì^o o 



quindi per la (3) 



00 00 



My).+ I.My) = Z.Uy). 



1 0 



Quanto all'esistenza di questa sola soluzione è inutile tenerne parola : 

 il lettore può vedere la prima Nota citata del prof. Volterra. 



Noi abbiamo supposto <p(0) = 0. Se è g> (0)4=0, l'espressione trovata 

 per f{x) soddisfa, come è chiaro, l'equazione 



— 5P(0) == ] 70) ip(x,y)dx; 



ma non più la (2), la quale evidentemente non ammette alcuna soluzione 

 in tal caso. Ciò dipende dalle condizioni imposte alla ip(x , y), tolte le quali 

 la soluzione può esistere; e noi abbiamo visto che per l'equazione di Abel 

 realmente esiste. 



