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talché potremo derivare ambo i membri rispetto ad x colla regola ordinaria. 

 Così facendo, si ottiene 



(a\ t> i \ ni \ senw sen nn C x 7)K , 



(d) P^a?) — P(#) — Z 0 (x)K(x,x) Z 0 {ì]) — dr]. 



n n J 0 iix 



Con un opportuno cambiamento di variabili la (c) diventa 

 K( V , x) = f ip(rj , V -f- /(a? — ry)) ^ - 



K(x,%) = ip(x,x) 



\l—n ' 



per conseguenza 



sen nn 



7># 



in cui 



(5) 



Con queste espressioni di K(x,x) e — la (d) diventa 



~ÒX 



. . sen nn C x ìK 



P l( ^) = _j o Z 0 (,)-^ 



Se dunque poniamo = H(?y , x), e mutiamo jj in £ , avremo 



H( f ,„=f W ^)(^)'-"^. 



Ripetendo ora lo stesso ragionamento quante volte si voglia, si trova 

 f{x) = Z 0 (ar) + Zj(#) + • • ■ + Z m (#) -f- /Vm(#), 



in cui 



(6) Z m (.r) = --^ L r f ^(É) H(£,a;) ^ 



' nip(x,x) J 0 



e soddisfa ad una equazione come la (4). Orbene, la serie 



Z 0 (a?) + Z 1 (3?) + - • -+'Z w (tf) + ■• ••• 



è convergente in ugual grado nell' intervallo |0,«| e rappresenta la funzione 

 f{x) che soddisfa F equazione proposta. Per la dimostrazione della conver- 

 genza poco o nulla di sostanziale c' è da mutare in quella esposta al n. 2 ; 



