perciò non vai la pena di ripeterla. Che poi soddisfaccia la (4) risulta dal pro- 

 cedimento stesso. Tuttavia, volendo, si può dimostrare anche direttamente. 

 Basta prima sottoporre la (4) alle successive trasformazioni che si son fatte 

 per il calcolo di Pi(x), e poi sostituire ad f{x) la serie, tenendo conto della 

 formula (6). 



4. Nel caso che sia $p(0) 4= 0, 1' espressione trovata per f(x) soddisfa 

 l'equazione 



ma non più la (4). Bisogna dunque considerare a parte questo caso. 



La funzione ausiliaria usata nel n. 3 non gode più della proprietà che 

 la definisce, quando g>(0) ={= 0 ; perchè, sostituita al posto di f(x) nella (4), 

 dà per risultato q>(y) — <p(0), e non <p(y) soltanto. Ma basta aggiungere a 

 P(x) l'espressione 



sen nn cp(0) 

 n x l ~ n 



per ottenere la funzione ausiliaria corrispondente al caso in esame. Infatti, 

 ponendo 



sen nn y (Q) 



F(a?,y) = - 



nell' integrale 



rp(x,y) 

 J 0 v 9 Ky — xT 



esso si scinde in due. Il primo, per le cose dette, si riduce a q>{y) — <p(0); 

 il secondo 



sen nn C y dx 



5P(0) 



71 Jo (y — %) n ^~ r ' 



è uguale a <p(0); quindi la somma è <f{y). 

 Allora, procedendo come di solito, porremo 



f{x) = Z 0 (x) + f x {xl 



in cui 



sen nn (p(0) 

 n x l ~ n 



P(x) + 



(6) Z 0 (#) ~. - 



ip(x , x) 

 Si ottiene 



™' Jo {y — (c) n y!n Jo {y — x) 



