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Per provarlo non abbiamo cbe da ricorrere alle formole date dal sig. Ko- 

 nigsberger nel suo libro già citato. Egli stabilisce (pagg. 22 e 23) le con- 

 dizioni necessarie e sufficienti cui debbono soddisfare, nel caso più generale, 

 le funzioni Q; (delle q e delle loro derivate successive fino alla (2n) ma ) af- 

 finchè si possano far discendere da un'unica funzione V (delle q e loro de- 

 rivate fino alla n ma ) mediante la forinola (8). Tali condizioni sono le se- 

 guenti : 



^(» W^*> dt 7>qf +l) ~ i ~\ 2 / dt 2 7)ft ( *+ 2) 



; V "2» — k j 7)?/ 8w) 1 < ' 

 /k = 0, 1, 2, ... 2«\ 



\ ty = i,2,...v / 



che si riducono, per v = l, a queste altre: 



' ^ j ( V* ri* 7)? (ft+l) ~ r '"'~ rV ; \2» — k) dt ìn - ,! ìq lìn) ' 



dove per avere delle equazioni distinte basta dare a k i valori 1, 3, ... , 2n— 1. 

 Ora non rimane cbe scrivere distesamente questo sistema di equazioni per 

 verificare quello che si è asserito. 



Per v >. 2 le (9) mostrano soltanto che se nelle Q* son nulli tutti i 

 termini colle # (2rt \ allora in ciascuna Q, svanisce il termine con qi (Zn ~ v . 



Le (9) ci permettono poi anche di constatare che in un potenziale di 

 1° ordine a v parametri, lineare nelle derivate di questi, cioè in un poten- 

 ziale della forma (2) da noi precedentemente studiata, i coefficienti sono 

 affatto indipendenti 1" uno dall' altro. Ed invero questo equivale a dire che, 

 prese comunque nelle (2) le funzioni U, a x , ... , a H , sostituendo nelle (9) le 

 espressioni (3) delle Q*, le (9) stesse diventano altrettante identità. Ora i 

 tre gruppi di eguaglianze a cui in questo caso si riducono le (9) corrispon- 

 dentemente ai valori 0,1,2 di k sono costituiti: 



1) da identità evidenti; 



2) dalle relazioni a rs -f- a sr = 0, che sono le (4) e valgono identi- 

 camente ; 



3) dalle eguaglianze 



~òa rs , da u _ ~òctri 

 r ^ llr ~ di }> q , ? " 



