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bili di Bonnet ed inversamente. Tanto si ottiene utilizzando le proprietà delle 

 rappresentazioni di Clifford delle superficie dello spazio ellittico studiate 

 dal prof. Fubini nella sua tesi di laurea ( ! ); così si rende in pari tempo palese 

 la ragione geometrica dell' equivalenza dei due problemi. 



Casi particolari notevoli di superficie isoterme dello spazio ellittico sono 

 dati dalle superficie 2 d' area minima, o a curvatura media nulla, e più in 

 generale da quelle di curvatura media costante. Se la superficie 2 è ad area 

 minima, la coppia corrispondente di Bonnet di superficie applicabili dello 

 spazio euclideo è formata da due superficie di curvatura media costante, cbe 

 sono trasformate l' una dell' altra colla trasformazione involutoria di Hazzidakis ; 

 inversamente ogni tale coppia di superficie di curvatura media costante dà, 

 con quadrature, una superficie minima dello spazio ellittico. 



Quando la superficie 2 è di curvatura media costante non nulla, la coppia 

 corrispondente di Bonnet è ancora di superficie a curvatura media costante ; 

 ma questa volta, anziché da una trasformazione di Hazzidakis, le due su- 

 perficie sono legate da una trasformazione di Lie Bonnet, cioè le linee di 

 curvatura dell' una tagliano sotto angolo costante le linee che corrispondono 

 a quelle di curvatura sull'altra. 



Si vedrà poi che anche la trasformazione di Lie delle ordinarie superficie 

 pseudosferiche è suscettibile, in geometria ellittica, di un' analoga interpre- 

 tazione. 



Le considerazioni di metrica ellittica qui svolte sotto un aspetto parti- 

 colare, in vista dello speciale problema a cui si riferiscono, possono ricevere 

 • una più ampia interpretazione ed impiegarsi utilmente in altri problemi della 

 teoria dell'applicabilità, come dimostrerò prossimamente. 



2. Conviene dapprima che ricordiamo i risultati del Fubini, relativi 

 alla doppia rappresentazione di Clifford di una superficie 2 dello spazio 

 ellittico. 



Per un punto fisso 0 dello spazio si conducano le parallele tutte nel 

 senso destrorso, ovvero nel sinistrorso ( 2 ), alle diverse normali della super- 

 ficie 2 e queste parallele si intersechino col piano n polare di 0. Ogni punto 

 P di 2 dà così due punti immagini Q , Q', situati sui detti raggi paralleli 

 alla normale in P , alla distanza di un quadrante da 0. I due punti Q , Q', 

 movendosi P sopra 2, descrivono sul piano n le due rappresentazioni di 

 Clifford, destrorsa e sinistrorsa, della superficie 2. Il Fubini ha dimostrato 

 che le due figure descritte da Q, Q' si corrispondono per eguaglianza d'aree; ed 

 inversamente se si ha una rappresentazione equivalente (che conservi le aree) 

 del piano n sopra sè stesso, le due figure descritte da due punti corrispon- 

 denti sono sempre le immagini di Clifford di una superficie 2 dello spazio 



(') G. Fubini, Il parallelismo di Clifford negli spazi ellitici. Annali della E. Scuola 

 Normale Superiore di Pisa. Voi. IX, 1900. 



( 2 ) Vedi le mie: Lezioni di geometria differenziale (2 a edizione), voi. I, § 198. 



