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sono tre differenziali esatti. Poniamo: 



(3)#==JV 6 (X, du—X 2 dv) , y=j<r*(J x du—Y 2 dv) , z=j^e- <) (Z ì du—Z 2 dv) , 



e riguardiamo x , y , z come coordinate cartesiane ortogonali di un punto 

 mobile nello spazio euclideo; questo punto descriverà una superficie S di 

 elemento lineare 



(4) ds 2 == e-* {du 2 + dv 2 ) . 



Per distinguere i parametri di scorrimento destrorsi dai sinistrorsi, 

 indicheremo i primi colle notazioni superiori, i secondi colle analoghe 



Xi , X 2 , X 3 ecc. 



Se poniamo ora 



(3*) ^=jV 6 (X,dw— X 2 dv) , y --=JV 6 ( Y x du — Y 2 dv) , 1= jV^Zxda— Z,rfy), 



il punto ( a, y , 1) descriverà nello spazio euclideo una seconda superficie S 

 dello stesso elemento lineare (4), cioè applicabile sulla S. 



Ma calcoliamo ora per S , S le due seconde forme quadratiche fonda- 

 mentali 



D du 2 + 2D' du dv + D" dv 2 

 D du 2 + 2D' du dv + D" dv 2 , 



per la qual cosa basterà osservare che la normale alla S ha i coseni di dire- 

 zione X 3 , Y 3 , Z 3 e la normale di S i coseni X 3 , Y 3 , Z 3 . Osservando le (2) , 

 (3), (3*), otteniamo così: 



i d = — — , d ' = - .i , ir = — 



<*> L r ; - . - i 



f r 2 r x 



Come si vede, le due superficie applicabili S , S non sono congruenti 

 nè simmetriche, avendo differenti (pel segno di D') le due seconde forme 

 fondamentali. Però, calcolando le loro curvature medie H , H , troviamo 



(6) H = H = e -(J--i); 



dunque : Le due superficie S , S dello spazio euclideo,, dedotte con quadra- 

 ture dalla superficie isoterma 2, sono applicabili V una sulV altra ed hanno, 



