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in punti corrispondenti gli stessi raggi principali di curvatura; costitui- 

 scono cioè una coppia di Bonnet. 



4. È facile invertire il risultato precedente e dimostrare che ad ogni 

 coppia nota (S , S) di superficie applicabili al modo di Bonnet corrisponde 

 una superficie isoterma 2 dello spazio ellittico. 



Si riferiscano infatti le due superficie S , S a quel sistema (u , v) che 

 è formato dalle linee cinematicamente autoconiugate ('), sicché essendo 



ds 2 = E du 2 -f- 2F du dv + G dv 2 



la prima forma fondamentale comune, le due seconde forme fondamentali 

 siano date da 



D du 2 + 2D' du dv -f D" dv 2 

 D du 2 — 2D' du dv + D" dv 2 . 



Poiché S , S hanno, in punti corrispondenti, eguale curvatura media, sarà 

 ED" -f GD — 2FD' = ED" + GD + 2FD', 



onde segue F=0. Ma le equazioni di Codazzi, dovendo essere soddisfatte 

 anche cangiando il segno di D', si scindono nelle quattro: 



(a) 



- i 12 ^ D - D" ^ — / — 4- — \ 



-òv~\i) V \ 2) ~ 2 ìv \E "f" G / 



^ _ 112) _ $22) _ _ 1 ^G / D '\ 

 iu (2) ( 1 ) 2 ìu \E "f" G / 



7)D 



Dalle due ultime si trae 



~òu ~òv 



H/I) 



0, 



il che dimostra come il sistema (u , v) sia, oltre che ortogonale, isotermo. 

 Prendendo parametri isometrici, potremo dunque porre 



E = G = e~ 20 , 



0) Lezioni ecc., voi. II, § 238. 



