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dopo di che le prime due equazioni (a) danno 



(fi) 



^ = _^(D + D") 



Ifv ~òv K ~ ' 



i^ = -^(D + D"), 



e le due seconde (a) provano che si ha D' = cost te , onde si potrà fare 

 D' = ± 1 , moltiplicando i parametri u , v per un fattore costante. 



Si vede allora che nello spazio ellittico (di curvatura K 0 = -f- 1) esiste 

 una superficie 2 a linee di curvatura isoterme (u , v) coli' elemento lineare 



ds 2 — e*\du 2 -\-dv*) 

 e colle curvature principali date da 



— = — D , - = D" . 



Si verifica infatti che risultano per tal modo soddisfatte le equazioni 

 di Gauss e di Codazzi dello spazio ellittico. Questa superficie 2 ha per im- 

 magini di Clifford le due immagini sferiche di S , S Per quanto ha dimo- 

 strato il Fubini (1. e), segue che dalla coppia nota (S , S) di superficie di 

 Bonnet si ottiene 2 con quadrature. 



L' equivalenza dei due problemi è così stabilita geometricamente dalla 

 proposizione : 



Le due immagini di Clifford di una superficie isoterma 2 dello spazio 

 ellittico danno le immagini sferiche di una coppia di superficie (S , S) 

 dello spazio euclideo, ajiplicabili con conservazione dei raggi principali 

 di curvatura, ed inversamente; alle linee di curvatura di 2 corrisponde 

 il sistema cinematicamente autoconiugato di S,S. Nota la superficie 2, 

 si ottiene con quadrature la coppia di Bonnet (S , S), e viceversa. 



5. Consideriamo nello spazio ellittico una superficie 2 d' area minima. 

 Riferendola alle sue linee di curvatura (u , v) avremo ( 2 ) : 



ds 2 = e 20 (du 2 + dv 2 ) 

 r x = e 2(> , r 2 = — e 20 . 



dove 6 è una soluzione dell'equazione a derivate parziali 

 (7) Tl + ^ + * 20 -*- 29 = < K 



( 1 ) Come è ben noto il piano n della geometria ellittica può riguardarsi come una 

 sfera di raggio = 1 dello spazio euclideo, che assumiamo qui come sfera rappresentativa 

 di Gauss. 



( 2 ) Lezioni, voi, II, § 352. 



