— 517 — 



Le forinole (5) dimostrano che per la coppia (S , S) di superficie appli- 

 cabili di Bonnet nello spazio euclideo, che si deducono colle quadrature 

 (3) , (3*) da 2, si ha 



i ds 2 = e~ 2f) {du 2 + dv 2 ) 



} D = e- 26 , D' = — 1 , D"= e- 29 



f D = e- 29 ,D'= + 1 ,D"=e- 29 . 



Esse hanno quindi la curvatura media costante = 2 e le loro linee di cur- 

 vatura sono le u-±v = cost, che corrispondono alle linee assintotiche di 2. 

 Ne risulta che S , S sono trasformate l' una dell'altra per la trasformazione 

 involutoria di Hazzidakis ('). 



Possiamo dare a questi risultati la forma seguente : 

 Se di una superficie minima 2 dello spazio ellittico si costruiscono 

 le due immagini di Clifford delle linee assintotiche queste sono le imma- 

 gini sferiche delle linee di curvatura di due superficie S , S a curvatura 

 media costante dello spazio euclideo,, coniugate secondo la trasformazione 

 di Hazzidakis. 



Applichiamo ora alla coppia (S , S) una delle nuove trasformazioni delle 

 superficie a curvatura media costante che si deducono dall' inversione dei 

 teoremi di Guichard ; otterremo così una nuova coppia (S' , S') di tali super- 

 ficie, coniugate secondo la trasformazione di Hazzidakis ( 2 ). A questa coppia 

 (S' , S') corrisponderà una nuova superficie minima 2' dello spazio ellittico. 



Quale è la relazione geometrica fra 2 e 2'? Si può dimostrare che 

 2,2' sono le due falde focali di una congruenza, eie due superficie 2,2' 

 si corrispondono per linee assintotiche e per linee di curvatura in una 

 rappresentazione conforme. Troviamo così che anche nello spazio ellittico 

 esistono le singolari congruenze W a falde focali d' area minima, scoperte 

 da Thybaut per lo spazio euclideo ( 3 ). 



6. Prendiamo ora nello spazio ellittico una superficie 2 di curvatura 



media costante = ^ riferita alle sue linee di curvatura (u , v) ; avremo ( 4 ) : 



j ds 2 = e 29 (du 2 + dv 2 ) 



. 1_ 1 -f e~ 26 J_ 1 — g~ 29 

 ( r 2 ~ 2R ' r x ~ 2R ' 



(') Lezioni, voi. II, §§ 237, 393. 



(2) Lezioni, voi. II, § 405. 



( 3 ) Delle congruenze di Thybaut negli spazi di curvatura costante, e di altre classi 

 speciali di congruenze, mi occupo in una Memoria di prossima pubblicazione negli Annali 

 di matematica. 



( 4 ) Cf. la mia Memoria: Sulle superficie d'area minima negli spazi di curvatura 

 costante. Atti dei Lincei, serie 4 a , voi. IV, 1888. 



