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ossemi" 0 una soluzione dell'equazione a derivate parziali 



che si riduce del resto alla (7), cangiando 6 ,u , v in 6 -\- c , ku , kv, e de- 

 terminando convenientemente le costanti c , k. 



Per le superficie S , S dello spazio euclideo, applicabili al modo di 

 Bonnet, che le formole (3), (3*) fanno derivare per quadrature dalla 2, 

 troviamo : 



ds 2 = e" 29 (dir- + dv 2 ) 

 D = — Tt! ,D' = — 1,D"= 6 



e quindi 



2R ' ' 2R 



D =-^§I-- D '=+ 1 - D "=- 25- 



H=H =-R 



Dunque le S , S hanno ancora la medesima curvatura media costante. 

 Ma siccome le loro rispettive linee di curvatura hanno le equazioni diffe- 

 renziali 



du 2 =t — du dv — dv 2 = 0 , 

 R 



vediamo che, applicando la S sulla S , le antiche lìnee di curvatura tagliano 

 le nuove sotto un angolo costante <r dato dalla forinola 



Questa volta adunque le due superficie di curvatura media costante S , S 

 sono legate, invece che dalla trasformazione involutoria di Hazzidakis, da 

 una trasformazione di Lie-Bonnet ('). 



In successive Memorie pubblicate negli Annali di matematica ( 2 ) mi 

 sono occupato delle trasformazioni delle superficie a curvatura media costante 

 dello spazio euclideo e dello spazio ellittico (ed iperbolico) che nascono dalla 

 inversione dei teoremi di Guichard. Le osservazioni precedenti collegano le 

 relative trasformazioni nello spazio ellittico a quelle nello spazio euclideo. 

 Vediamo che i risultati più completi si ottengono dallo spazio ellittico in 

 quanto che i due sensi del parallelismo danno luogo ogni volta ad una 

 coppia di superficie a curvatura media costante nello spazio euclideo, colle- 



(») Lezioni, voi. II, § 394. 

 ( 2 ) Serie 3 a , t. Ili, IV e V. 



