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gate da una trasformazione di Lie-Bonnet. Ne risulta così che le nuove 

 trasformazioni delle superfìcie a curvatura media costante sono permutabili, 

 oltre che colla trasformazione di Hazzidakis ('), anche con quella di Lie- 

 Bonnet. 



7. I risultati precedenti conducono spontaneamente a proporsi un'altra 

 questione che, sebbene non si colleghi direttamente colle superficie isoterme, 

 vogliamo qui risolvere. 



Le superfìcie di curvatura media costante, dello spazio ellittico o del- 

 l'euclideo, ammettono due superfìcie parallele a curvatura assoluta K costante 

 (teorema di Bonnet). 



Indicando con K questa curvatura, si ha K > 1 nel caso ellittico e 

 K ^> 0 nel caso euclideo ; sicché possiamo dire che una superfìcie 2 a cur- 

 vatura costante K >> 1 dello spazio ellittico dà, con quadrature, una coppia 

 di superfìcie a curvatura costante positiva dello spazio euclideo, legate fra 

 loro da una trasformazione di Lie-Bonnet ovvero da una trasformazione di 

 Hazzidakis (se in particolare K = 2) ( 2 ). 



Consideriamo ora nello spazio ellittico una superfìcie 2 che sia ancora 

 di curvatura assoluta K costante, ma con K << 1 , e domandiamo se anche 

 una tale superfìcie si collega a quelle di curvatura costante nello spazio 

 euclideo. Dimostreremo che ciò accade effettivamente; ma questa volta le 

 superfìcie che se ne deducono nello spazio euclideo sono pseudosferiche. 



Possiamo supporre K >> 0, chè altrimenti sostituiremo alla 2 la sua 

 polare. Posto K = sen 2 o", essendo a un angolo reale costante, riferiamo la 

 superfìcie 2 alle sue linee di curvatura (u , v). Avremo: 



Calcolando mediante le (1) il ds' 2 delle immagini di Clifford, troviamo 

 ds' 2 = dXt + dYl + dZ\ = (cos 2 0 -J- cos 2 e sen 2 0) du 2 =fc 2 cosa du dv + 



ovvero, prendendo per linee coordinate le immagini delle linee assintotiche 

 di 2 e ponendo 



ds 2 = cos 2 0 du 2 -j- sen 2 0 dv 2 



— = cos a tg 0 , — = — cos a cot 6 , 

 dove 6 è una soluzione dell'equazione a derivate parziali 



1)U 2 Dy 2 



sen 2 o" sen 8 cos 6 = 0. 



+ (sen 2 0 -j- cos 2 tf cos 2 0) dv 2 , 



a = 



1 ± cose 

 2 



(u + v) , 0 = 



1 =p COS G 



2 



(u — y), 



0) Lezioni, voi. II, § 405. 



( 2 ) Cfr. Lezioni, voi. II, § 352. 



Rendiconti. 1903, Voi. XII, 2° Sem. 



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