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Per la risolubilità del problema deve dunque essere zero la matrice 

 delle equazioni lineari (8) e (9), cioè 



(10) M+y [(M) p + )M( p ] + (M) r 



P =i 



e si ha così il risultato già da noi ottenuto nel paragrafo 1 della Nota VI. 



La anzidetta condizione è anche sufficiente. Infatti soddisfatta tale con- 

 dizione, le (8) (9) sono compatibili, e può trovarsi almeno un sistema di 



valori per le derivate — - . Ammettiamo per un momento che possa tro- 



varsi una trasformazione delle x nelle y tale che le derivate di Xi rispetto 

 ad y n abbiano i trovati valori. Facciamo vedere che allora restano sod- 

 disfatte le (1) (2). In primo luogo dalla (9) si deduce Y n = 0. Inoltre sot- 

 tragghiamo le due (8) coi medesimi indici, e otteniamo 



y ((* , hi ... h P )) x ^ = 0 (q = 1 . 2 , ... r - 1) 

 e moltiplicando per 



(t *" f) (<?< S <r-i), 



Vi ••• Js / xy 



e indi sommando da q = 1 sino a q = s e per tutti i possibili valori delle A, 

 si ha: 



X II <(,, a, ...y),^ (*'•■•'>) =o 



p=l i h ày n \Ji ••■ Js ] xy 



che, per effetto di una forinola della Nota li, non è altro che 



(11) ((n,j\ ...y s )) Y = o. 



Si ha dunque che, soddisfatte le (8), sono zero tutte le (11) per ogni s 

 da 1 ad r — 1. 



Per s=l si ha ((n ,j))? = Q, ed essendo Y„ = 0 sarà Y nj = 0. Per 

 s = 2 si ha ((n , j\ == 0 ed essendo già Y n = ¥„_,-, = Y n j 2 = 0 si ha 

 Y n jj ì = 0; così seguitando, si vede che soddisfatte le (8) (9) restano sod- 

 disfatte tutte le (1). 



Soddisfatte queste, lo sono le (4), e quindi, ricavandosi dalla sussistenza 

 delle (8) quella delle (5), ne risulta la sussistenza di (3) e perciò di (2). 



Vediamo ora come si trova la trasformazione delle x nelle y che risolve 

 il problema, e la cui esistenza abbiamo ammessa di sopra. 



