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Se la matrice (10) è zero, le equazioni (8) (9) ammettono una soluzione 

 comune che chiameremo 



^•••Sw/*i 



e formiamo l'equazione a derivate parziali 



(12) 2>^T- = ° 



che avrà n — 1 integrali indipendenti 



(13) y i = yi{x) (i = l , ... ,n— 1) 



a cui, al solito, aggregheremo una nuova funzione arbitraria, ma indipendente 

 dalle precedenti: 



(14) yn — g>n{x). 



La trasformazione (13) (14) risolve il problema, e ogni trasforma- 

 zione che risolve il problema è di questo tipo. Infatti si sa che i differen- 

 ziali delle x ricavati dalle (13) e considerandovi y x ... y n - x come costanti, 

 sono proporzionali a £j ... £ n che sono i coefficienti di (12); d'altra parte 



considerando le x funzioni delle y, le derivate parziali sono proprio i 



rapporti dei differenziali di xa presi nell' ipotesi che y x ... y^ siano co- 

 stanti, pel differenziale di y n , dunque tali derivate parziali sono proporzio- 

 nali alle £ : 



(15) |f=^ 



e soddisfanno perciò alle (8) (9) con un valore diverso per l'incognita fi. 

 Di qui si deduce, come sopra, che sono soddisfatte le (1) (2) e quindi è 

 risoluto il problema. 



~Ì)X' 



Viceversa, risoluto il problema, le derivate — - devono soddisfare alle 



(8) (9), e quindi, conservando per le f il precedente significato, saranno sod- 

 disfatte le (15), cioè i differenziali di nell' ipotesi di y x ... y n _i 

 costanti, saranno proporzionali alle ... £„ , e perciò, risolvendo le supposte 

 forinole di trasformazione rispetto alle y x ... y n , le y x ... y n -\ soddisferanno 

 alla equazione a derivate parziali (12). 



Come si vede, abbiamo così ritrovato in tutte le sue parti principali, 

 il risultato del paragrafo 1 della Nota VI, che contiene però, in più, il 

 significato elegante e degno di nota, del primo membro della equazione (12), 



