— 548 — 



e cioè che tal primo membro rappresenta una trasformazione infinitesima che 

 lascia invariata X (n = 0 , e per cui sono zero l' invariante A e il cova- 

 riante C^- 1 '. 



2. Passiamo ora al secondo problema. 



Supponiamo che sia 



(16) T (rt =T (r> +Z 



dove T (r) non contenga y n , e Z Crt sia un differenziale canonico. Ricordando 

 quanto abbiamo dimostrato nel paragrafo 2 della Nota VII, che cioè per 

 un differenziale canonico Z (r) sono zero gli elementi delle matrici 



(M'),,)M'( r _i 



si ha che, in particolare, saranno zero per Z Cr) i simboli 



ih -jrn),)j l ...jr-x n\ 



e poiché questi simboli sono anche zero per T Cr> perchè uno dei loro indici 

 è sempre n, così si vede che essi saranno zero per le Y, cioè si avrà 



(17) (/i ... jr n)r = 0 , )/, ... jr-i n[ r = 0 , 



Vediamo ora come da queste relazioni possano ricavarsi delle equazioni 

 lineari cui soddisfanno le derivate di x x ... x n rispetto ad y n . 

 Consideriamo una delle equazioni (17), p. es. 



(18) (/, ...j s n) r = 0 (s = r , r — 2 ,r — 4, ) 



e applichiamo al primo membro la formola (18) del paragrafo 4 della Nota II, 

 che dà la espressione del simbolo in Y mediante simboli in X. Si ha 



(19) (./, ...J. ^ - 1 fi (Ai. .... h 0, (*? + 



h l_ i ò Vn_A \Jl ••• js/xy 



+iri )a, ... a s _, ^ ( k ! - m + 



+ =0. 



Supponiamo ora che si sia già dimostrato che dalle (17) risultano le 

 equazioni 



I j Ai ...^^^ = 0 

 ► (A, ... A s _ 2 t) x — - = 0 



