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derando il sistema delle n equazioni lineari omogenee delle quali il deter- 

 minante dei coefficienti è il determinante funzionale delle x rispetto alle y, 

 si deduce (se r è pari): 



(23) ÌMx^ = 0 

 ovvero (se r è dispari) : 



(24) I(Mx^ = 0. 



Ricaviamo dunque dalla sussistenza delle (17), quella delle equazioni 

 lineari 



^_ ... h r z')x = 0 



2_)hi ... h r -i 2(x— - = 0 



di cui l'ultima è la (23) se r è pari, ed è la (24) se r è dispari. 



Per la risolubilità del problema deve dunque essere zero la matrice 

 delle equazioni lineari (25), cioè 



(26) ( M ') r -HM'(,_i + 



e questo è il risultato ottenuto nel paragrafo 4 della Nota VII e nel pa- 

 ragrafo 1 della Nota Vili. 



Può dimostrarsi che la anzidetta condizione è anche sufficiente, e può 

 contemporaneamente trovarsi anche il modo per costruire la piti generale 

 trasformazione finita che effettua la riduzione. 



Se infatti la matrice (26) è zero, le equazioni (25), considerandovi come 



incognite le ammettono almeno una soluzione comune £i e for- 



mando 



(27) 2>^F = ° 

 e chiamando 



(28) yi=<fi{x) (i=l ,2,...n — 1) 

 gli integrali di questa, e aggregando arbitrariamente una 



(29) y n = (p n (x) 



che sia indipendente dalle precedenti, si dimostra, come nel paragrafo 1, 

 che le derivate — L ricavate da (28) (29) soddisfanno alle (25). Per effetto 



