sistema (S), &[ e (p[ devono ridursi a zero per r — 0 e quindi, in virtù delle 

 prime due equazioni del primo gruppo, che per r = 0 tanto Si quanto <p, 

 devono convergere verso valori determinati e finiti. 



Ricordando allora (v. n. 2, lemma 11°), che R = — Vqi^i si mantiene 

 diverso da zero per r convergente a zero, si conclude che i secondi memhri 

 delle (S) sono regolari, e che perciò la singolarità del sistema dipende dal 

 fatto, che le due seconde equazioni del primo gruppo contengono nel primo 

 membro r a fattore. 



Si rileva poi, dalla forma delle equazioni stesse, che è possibile deter- 

 minare le successive derivate delle funzioni incognite in un intorno di r = 0 

 e quindi costruire le serie, che definiscono queste funzioni. Nulla avverte 

 però che le serie debbano risultare convergenti. È applicando il metodo del 

 calcolo dei limiti di Cauchy, che si dimostra anche questo fatto. 



In definitiva si conclude, che « il sistema (S) ammette oo 8 integrali 

 «olomorfi, che per r = 0 diventano: — <p[ = <ò mentre le altre funzioni 



« , 9>i , x« , ... , y 2 , ... assumono valori costanti arbitrali 3^ , (p[ 0) , x l 2 0) , ... 

 Poiché inoltre si prova: 



1° che « non esistono soluzioni reali, all' infuori di quelle olomorfe, tali 

 « che per r = 0 ■&■[ e g>[ contemporaneamente si annullino, mentre le altre 

 « funzioni assumono valori costanti arbitrari », 



-2° che « gli integrali olomorfi corrispondono effettivamente alle traiet- 

 * torie d'un urto », cioè che « sopra una di esse r (e quindi si annulla 

 « in un intervallo di tempo finito comprendente l' istante iniziale » , 

 così concludiamo che: 



Tutte e soltanto le soluzioni del sistema (S), olomorfe per r = 0, 

 corrispondono alle traiettore, lungo le quali avviene l'urto dei due corpi 



Po , Pi • 



4°. In virtù dei valori che devono assumere gli integrali per r = 0, è 

 chiaro, che la forma delle soluzioni olomorfe corrispondenti alle traiettorie 

 singolari, di cui abbiamo fatto parola, sarà: 



*1 = r>j* (r , *;•>, ri 0 > , af , ...) , g>[ = rrf» (r , *f> , ) ; 



£ = ^ + r/J, (r , , ) , 9l = 9>;°> + ry, (r , $™ , ) ; 



# 2 = ^>4-ra g (/s^ 0) , ) ecc. ; p t *=p™ + r«™(r ) ecc., 



Pi > Yi > @T > y\ 1) , «2 , ... , «2° , ... indicando delle funzioni regolari per r ab- 

 bastanza piccolo, qualunque sieno i valori finiti degli altri argomenti. 



