Ciò fatto, dall'espressione di g>i{y) si trae 



<Pi («) = <p'(x) — (Z'o {x) + xp(x,x)Z 0 (■*)) — r VM? > x) Z o(£) d Z 5 

 quindi, in virtù della (e), 



SPÌ(*) = P[Zo(*) - Z„(£)] V»(£ ,x)d§. 



Risulta dunque 



Zi(^) = I^)X* H( ' ;) ^X" CZ ° (,?) ~~ Z ° (?)] ^ ' V) *' 

 Ripetendo ora il ragionamento quante volte si voglia, si trova 



f{x) = Zo(ar) + Zi(#) + + Z n (x) + /^(a?), 



ove Z 0 ha l'espressione trovata, 



Z„(«) = jj^j J^Hft) rf»; [Z„_,^) - Z n _,(f)] V 2 (£ , »;) ^,(« = 1,2,3 ...) 



e la f n+ i(%) soddisfa un'equazione come la (7). Orbene, la serie 



Z. + Z 1 + ---.- + Z„ + , 



è convergente in ugual grado nell'intervallo |0 , a\ , e rappresenta la f{x) 

 che soddisfa alla (7) e che assume il valore a per sc = 0. Infatti, essendo 

 7i Q (x) finita e continua in |0,a|, indicheremo con L il limite superiore dei 

 suoi valori assoluti; con M e m rispettivamente il limite superiore e l'in- 

 feriore dei valori di |H(#)| , e con Lj il limite superiore di quelli di \xp 2 {x,y)\ 

 per x e y variabili nell' intervallo considerato. Allora risulta 



M Irl 2 



| W |<2LL 1 --^ 



e così via; quindi in generale 



!W | <L (kM)»k!t, 

 \ m ) \n 



il che dimostra la convergenza in ugual grado della serie. 



