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È poi chiaro che per x = 0 assume il valore a , perchè tutte le Z s si 

 annullano per tal valore di x , ad eccezione di Z 0 che diventa uguale ad a . 

 Dunque la serie trovata rappresenta una funzione finita e continua in [0,a|, 

 che assume per x = 0 un valore dato ad arbitrio. Essa soddisfa l'equazione 

 (7), come risulta chiaramente dal procedimento usato per calcolarla. Ciò, 

 del resto, può verificarsi in modo diretto. Derivando l'equazione proposta 

 rispetto ad y, si ottiene 



9\y) - U\y) + v(y > y) f(y)l = . y) M dx -, 



e quindi, per l'espressione di f(y), 



oo oo ry 



9>'(y) — X(Z»(y) + V(y.y)Z»(y))==l. tp*(x,y)Z n (x)dx . 



0 0 ^0 



Se ora osserviamo che Z 0 soddisfa alla (e), e che in generale per « = 1,2,3... 

 sussiste l'equazione 



Z' n {x) -f [ »*) # + V(* > *)l Z »(^) == SP»(«) , 



la precedente diventa: 



Un 



00 I — fy — 1 00 ry 



-I ?;w-%) v.(*,y)# =Z I y.(*.y)z»(*)#, 



1 L _l 0 ^0 



ossia 



00 00 /"y 



-Z^(y) = Z (Zn(?) — Z„(y))V,(?,y)*. 

 1 0 ^0 



Ma questa è un'identità, perchè g>'„(y) è precisamente uguale a 



["[Zn-^-z^i^M^y) tè; 



dunque resta dimostrato l'asserto. 



La soluzione trovata è unica. Supponiamo, infatti, che esista un'altra 

 soluzione f x (x) della (7), finita e continua in \0,a\ ed uguale ad a per x = 0. 

 Lu funzione f(x) — fi(x) = ~P(x), che si annulla per x = 0, dovrebbe sod- 

 disfare all'equazione 



0 = P(y) + rxp(x,y)¥(x)dx; 



^0 



