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dalla quale si trae 



r\y\ 



(o) |P(^)!= \ip(x,y)\-\?(x)\dx. 



Indicando con L e M rispettivamente i limiti superiori dei valori asso- 

 luti di ~P(x) e xp(x,y) per x e y variabili in |0,«|, si deduce 



|P(y)|<LM|y| 

 |P(y)|<(LM)*lj£ 



|P(y)|<(LM)-W, 



usando successivamente la (o). Si vede dunque che |P(y)| è più piccola di qua- 

 lunque quantità assegnata piccola a piacere. Se ne conclude che f{x) — f t (x) 

 è nulla identicamente. 



L'equazione (7), che abbiamo risoluta, contiene in sè, come caso par- 

 ticolare, la seguente: 



(8) cp (y) = f{y) -f f \ (x , y) f(x) dx , 



che fu considerata dal prof. Volterra ('). Infatti, mantenendo le ipotesi fatte 

 sulla ip(x,y), dovrà essere /(0) = 9>(0); talché la precedente si potrà 

 scrivere : 



<p(y) -9(0)= f V'(*) + V(* ,y) Mi dx . 



Questa equazione è della forma (7) e il primo membro si annulla per y = 0; 

 quindi possiamo concludere, che esiste una sola soluzione f(x) della (8), 

 finita e continua in |0,a|. Essa si calcola col nostro procedimento, asse- 

 gnando ad a il valore <p(0). 



Notiamo ancora che nella funzione ausiliaria ~F(x , y) comparisce una 

 arbitraria Y(j/), della quale si può disporre opportunamente entro certi limiti, 

 onde ottenere per le Z s delle espressioni più semplici o più utili nelle ap- 

 plicazioni. 



Osserviamo infine che l'equazione più generale 



<p{y)= j C^o(^ , y) f\oo) + ipi(x , y) f(x)~\ dx 



(!) Rendiconti della E. Acc. Lincei, 1896; Annali di Matematica 1897. 



