Matematica. — Sopra le rappresentazioni equivalenti della 

 sfera e le coppie di superficie applicabili. Nota del Socio Luigi 

 Bianchi. 



1. Alle ricerche seguenti sulla deformazione delle superficie sono stato 

 condotto dall'esame di due passi delle opere postume di Gauss, che si col- 

 legano evidentemente alla scoperta dell' invariabilità della curvatura per fles- 

 sione (') Gauss osserva ivi che le immagini sferiche di superficie applicabili 

 danno figure equivalenti (d'eguale area), e su questa proprietà sembra che egli 

 intendesse fondare la risoluzione del problema generale della deformazione. 

 Ma, come bene osserva il Weingarten nelle note esplicative (Gauss-Werke, 

 Bd. Vili, pag. 448), le indicazioni incomplete lasciate da Gauss non per- 

 mettono di riconoscere senz'altro in qual modo avrebbe dovuto procedere la 

 ricerca ulteriore. 



Mi è parso opportuno riprendere le considerazioni stesse di Gauss ed 

 esaminare a quali risultati poteva condurre il metodo da lui indicato. Essi 

 mi sembrano contenuti nella proposizione generale seguente, di cui darò la 

 dimostrazione : 



A) Fissata una qualunque rappresentazione equivalente della sfera 

 sopra sè stessa, esistono infinite coppie di superficie applicabili (dipen- 

 denti da due funzioni arbitrarie) che hanno per immagini sferiche quelle 

 due date figure sferiche equivalenti. La ricerca di queste coppie dipende 

 dall' integrazione di un'equazione lineare alle derivate parziali del se- 

 cond' ordine. 



Riserbandomi di dare in una prossima Nota la dimostrazione diretta 

 di questo teorema, mi servirò nella presente delle considerazioni di geo- 

 metria ellittica che mi hanno condotto a stabilirlo. Nel modo più naturale 

 si collegano infatti queste ricerche alla doppia rappresentazione di Clifford 

 delle superficie nello spazio ellittico, come già ne ho fatto cenno nella mia 

 Nota precedente sulle superficie isoterme ( 2 ). Le proprietà fondamentali che 

 verrò esponendo dimostrano invero che la rappresentazione di Clifford ha 

 nella teoria delle deformazioni finite delle superficie un ufficio analogo a 

 quello della rappresentazione sferica di Gauss per le deformazioni infinitesime. 



A base della teoria sta la proposizione seguente: 



B) Affinchè un sistema coniugato sopra una superficie S si conservi 

 coniugato in una deformazione finita di questa, è necessario e suffi- 



(!) Gauss-Werke, Bd. Vili, pag. 372 e 447. 



( ? ) Questi Rendiconti (2° sem. voi. XII), seduta del 6 dicembre 1903. 



