alle quali si può sostituire un' unica equazione (lineare) del 2° ordine, l'equa- 

 zione (a) che troviamo più avanti. 



Supposta scelta una coppia (A , fi) che soddisfaccia le (4), indichiamo con 

 x ,y ,s le funzioni di cui le (2) colle analoghe, sono differenziali esatti e 

 similmente con x , y , z gli integrali della (2*) e delle analoghe, poniamo 

 cioè 



(5) 



x 



x 



= jl j/È ^X, + ^- X 2 ) du + ì/Gt^- X, — AX 2 Ì tfcj 

 =j | t/E ^X, + X 2 ) ^ + j/G^ X, — AX 2 ) 



e analogamente per y ,z ; y , z . 



Riguardando x ,y ,s ; x ,y , z come rispettive coordinate di due punti 

 P , P mobili nello spazio euclideo, questi descriveranno due superfìcie S , S 

 collo stesso elemento lineare 



(6) ^ = e(a 2 + du 2 2 \/m Xtxl— — — )dudv + 



Indicando poi con D , D' , D" , D , D' , D" i rispettivi coefficienti delle 

 seconde forme fondamentali per S,S, troviamo 



(6*) 



ÌD= ^- — A) , D' = — |/EG ( A + ) , D" = — ^ C« — A) 



Ora le due identità 



— D"+ — D = 0 , — D" + — D=0 



?2 ?1 i?2 ?1 



dimostrano che alle assintotiche di 2 corrisponde un sistema coniugato tanto 

 sopra S , quanto sopra S. Abbiamo dunque il teorema : 



Le due immagini di Clifford delle assintotiche di una qualunque su- 

 perficie 2 dello spazio ellittico danno le immagini sferiche del sistema 

 coniugato comune di infinite coppie di superficie applicabili dello spazio 

 euclideo. 



La determinazione effettiva di queste coppie abbiamo fatto dipendere 

 dall' integrazione del sistema (4). Ma se riferiamo ad esempio la superficie 



Rendiconti, 1904, Voi. XIII, 1° Sem. 2 



