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S a coordinate tangenziali (') (X 3 , Y 3 , Z 3 ; W) possiamo sostituirvi l'inte- 

 grazione dell' unica equazione lineare del 2° ordine in W : 



(a) — W„ + — W 22 + EQ(— + —Vi -f- . W = 0 ( 2 ), 



le derivate seconde covarianti W n , W 22 essendo calcolate rispetto all'ele- 

 mento lineare sferico 



(b) dsf = E (l + \) du°~ + 2^EG (— — — ) dv -f G ( 1 -f \) dv 2 . 



3. Vogliamo ora invertire i risultati precedenti e dimostrare che una 

 coppia qualunque (S , S) di superfìcie applicabili dello spazio euclideo indivi- 

 dua una superficie 2 dello spazio ellittico, che ha per immagini di Clif- 

 ford delle linee assintotiche, le immagini sferiche del sistema coniugato co- 

 mune di S , S. Per questo mi servirò delle forinole relative al triedro mo- 

 bile, sviluppate nella Lecons di Darboux (T. I e II) e riportate ai §§ 284-286 

 del mio libro (Voi. II). 



Siano (Xj , Yj , Zj) £ — 1,2,3 i coseni di direzione del triedro mobile 

 (comunque orientato) per la superficie S, e similmente (X; , Y,- , Z ; ) quelli del 

 triedro corrispondente per S. Indichino poi 



P,q,r ; p x ,Qi,r x 



le rotazioni del primo triedro e 



P~, q , r ; p x , q x , r, 



quelle del secondo. Si osservi che tutta la dimostrazione seguente è fondata 

 sulle note eguaglianze 



(c) r — r , r x =r u 



dipendendo le rotazioni r,r x solo dall'elemento lineare. 



Riguardiamo ora X< , Yj , Zj ; X;,Y,, Z; (i = l, 2, 3) come parametri 

 di scorrimento rispettivamente destrorsi e sinistrorsi, di una retta ti ( 3 ) nello 

 spazio ellittico (e della sua polare). Avremo così tre rette t x ,t 2 , t 3 , le 



(') Lezioni, voi. I, § 81. 



( 2 ) Questa non è altro che la traduzione analitica del fatto geometrico che alle 

 assintotiche di Z corrisponde un sistema coniugato sopra S . 



( 3 ) Questa avrà dunque le sei coordinate 



Xf =t Xj , Yi ± Yj , Zi ± Zi. 



