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Ora il punto (#0 , X\ , x 2 , x 3 ) descrive nello spazio ellittico una super- 

 ficie 2, la cui normale, a causa delle identità 



0=3 0=3 ^, ™. 



è precisamente la retta t 3 . Dunque le due immagini di Clifford per 2 coin- 

 cidono colle due immagini sferiche di S , S. 



Dimostriamo ora di più che il sistema coniugato comune di S , S cor- 

 risponde alle assintotiche di 2. Nel modo più semplice verifichiamo questo 

 fatto, osservando che dalle (8) seguono le forinole 



^ ~òXi Ih __ pq — pq ^ !>%i Di» Pi'fi — pi ([x 



~òu ~òu 2 ' 7)y 1)V 2 



Ora se pel sistema (u , v) prendiamo il sistema coniugato comune di 



S,S, dalle formole (9) a pag. 183 del Voi. II delle mie Lezioni, si vede 

 che sussistono le proporzioni 



p : q=p \ ~q , p x : q x = ~p x :q 1 



e quindi 



^i^iHi_0 -0 



~ÒU ~ÒU ' ~Ì)V "ÒV 



Queste formole esprimono appunto che sopra 2 le linee (u , v) sono le 

 assintotiche. 



4. Il processo di dimostrazione ora tenuto può anche applicarsi a sta- 

 bilire, per altra via, il teorema del Fubini: una qualunque rappresenta- 

 zione equivalente della sfera sopra sè stessa individua nello spazio ellit- 

 tico una serie di superficie parallele, le cui due immagini di Clifford 

 sono date da quelle due figure sferiche equivalenti. 



Siano infatti 



( ds 2 = edu 2 -\- 2fdu dv -f- g dv 2 

 ™' \ds l 2 =~edu 2 + 2fdudv-{-gdv 2 



gli elementi lineari delle due figure sferiche equivalenti; avremo 



eg — f % = ~e~g— 7 2 , 

 ovvero colle consuete notazioni 



