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Fissiamo ora un triedro mobile (Xi , Y* , Z,) i= 1, 2, 3, associato alla 

 prima figura, il cui terzo spigolo (X 3 , Y 3 , Z 3 ) sia la normale alla sfera, e 

 alla seconda figura associamo un analogo triedro (X; , Y* , Z ; ). Se potremo si- 

 tuare i due triedri, per ora arbitrarli, in tali posizioni relative che ne risul- 

 tino le eguaglianze (c), sarà applicabile il procedimento del numero prece- 

 dente e sarà provato il teorema. Ora se q> , y> sono le rispettive inclinazioni 

 degli spigoli (Xi , Yi , Zi) , (X^Y^Z,) dei due triedri sulle tangenti alle 

 linee v, abbiamo (') 



e (2) Du 



r. — - 



yj (i2) 



~ò(p 



e \2) 





\/j (12) 





e (2) 



~ lìV 



{vii ivi) 



i simboli di Christoffel > j^j riferendosi alle due rispettive forme (g). 

 Basterà dunque che le due equazioni 



(d) 



1)U 



— W ) 



1 2 



yj (ii) 



e 2| 



yj_(i2\ 



e \2] 



yj (.12 



7 (2 



siano compatibili; ma ciò risulta in effetto dalla circostanza che, essendo 

 le curvature delle forme (9) eguali a -j- 1, sussistono le identità : 



1)U 



ryj (i2n 



L~n.aU 



Si può dunque nelle (d) prendere ad arbitrio tp , p. e. g> = 0, e con una 

 quadratura si avrà il valore da assegnarsi a <p. La costante arbitraria intro- 

 dotta dall' integrazione fisserà, col suo valore, la superficie 2 nella serie 

 parallela. 



5. I risultati stabiliti ai numeri precedenti facilmente conducono a di- 

 mostrare i teoremi A) B) enunciati nel numero 1. Pel teorema A) la cosa 

 è immediata, applicando successivamente i risultati del numero precedente e 



(') Lezioni, voi. II, pag. 181 forinole (7). 



