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quelli del numero 2. Per il teorema B) si vede pure immediatamente che 

 la condizione ivi enunciata è necessaria. 



Proviamo che è altresì sufficiente come segue. Supposto che la S abbia 

 per immagine di un sistema coniugato l' immagine destrorsa delle assinto- 

 tiche di 2, riferendo questa alle sue linee di curvatura, avremo 



dove £ , rj ; £ x , ^ soddisfaranno le (3) n. 2. 



La condizione che alle assintotiche di 2 corrisponda un sistema coniu- 

 gato sopra S, porta l'altra condizione 



Ci Qì 



ora questa colla terza delle (3), escludendo il caso 



1 



1 (*), porta 



che si abbia separatamente 



J/E 



?2 



?? - — = 0 , 

 <?1 



Valgono dunque le formole del n. 2 e la seconda superficie S ivi tro- 

 vata è applicabile sulla S, con conservazione del detto sistema coniugato, c. d. d. 

 Dai teoremi dimostrati si trae ora questa notevole conseguenza: 



Una superficie 2 dello spazio ellittico è in generale determinata 

 (a meno di uno scorrimento) da una delle immagini di Clifford delle sue 

 linee assintotiche. 



Ma vi ha un caso ben notevole d'eccezione; questo si presenta quando 

 la S ammette più d' una deformazione che conservi coniugato quel sistema. 

 Allora essa ammette una serie continua ad un parametro di tali deforma- 

 zioni ( 2 ), ed abbiamo quindi una serie oo 1 di superficie 2 dello spazio ellit- 

 tico, differenti per la forma, e che si corrispondono per parallelismo (destrorso) 

 delle normali e per linee assintotiche, ossia per sistemi coniugati. Il caso 

 più semplice di tali superficie 2 è quello delle superficie di curvatura co- 

 stante; il passaggio dall'una all'altra superficie della serie corrisponde alla 

 trasformazione di Lie-Bonnet. 



(*) Allora la superficie 2 sarebbe a curvatura nulla e la S sviluppabile, caso che 

 naturalmente escludiamo. 



(*) Lezioni, voi. II, pag. 43. 



