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Ponendo 



Ui = 



u — v 



U -j- V 



queste diventano 

 (IO*) 



t/2 



ve 



+ TI + senh 6 cosh 0 = 0 



~òVi 



(11*) 



ds\ = senh 2 e du\ + cosh 2 e dv\ 



(12*) 



7> 2 W 



^- + cosh2fl.W = 0. 



Ora la (11*) coincide coli' elemento lineare sferico rappresentativo di una 

 superficie S 0 di curvatura costante positiva dello spazio Euclideo, riferita alle 

 sue linee di curvatura U\ ^ v x , e la (12*) è l'equazione delle deformazioni 

 infinitesime di S 0 . Da noti teoremi si conclude ora che la superficie S, in- 

 viluppo del piano di coordinate (X 3 , Y 3 , Z 3 ; W), è V associata di S 0 in una 

 deformazione infinitesima. Così è stabilito il teorema: 



Le superfìcie S deformabili in guisa che le assintotiche di S diven- 

 tino un sistema coniugato sulla deformata S, sono tutte e sole le associate 

 delle superfìcie S 0 di curvatura costante positiva nelle loro deformazioni 

 infinitesime ('). 



È da osservarsi inoltre che le assintotiche di S corrispondono al sistema 

 coniugato permanente nella deformazione infinitesima, e che il passaggio 

 dalla S alla deformata S corrisponde alla trasformazione involutoria di 

 Hazzidakis. 



Applicando i noti risultati della teoria delle superficie di curvatura co- 

 stante, potremo determinare con sole quadrature quante si vogliano coppie 

 di superficie applicabili della specie considerata in questo numero. 



7. Passiamo ora a studiare le coppie (S , S) di superficie applicabili in 

 guisa che le normali in punti corrispondenti P , P facciano fra loro un an- 

 golo e costante. Il caso particolare in cui <r = 0 , cioè le normali parallele, 

 è ben noto ( 2 ) ; allora le superficie S , S sono ad area minima. Ciò segue 

 anche dal nostro metodo attuale poiché, coincidendo le immagini di Clifford 

 di 2, questa è una sfera, e le forinole (6), (6*) n. 2 dimostrano appunto 

 che S , S sono ad area minima. 



Sia ora g =}= 0. Dobbiamo trovare in primo luogo le rappresentazioni 

 equivalenti della sfera in cui due punti corrispondenti sono a distanza sfe- 

 rica costante e Se ricorriamo allo spazio ellittico, la questione si trasforma 

 nell'altra di trovare le superficie 2 per le quali è costante l'angolo e delle 



O II caso delle superficie d'area minima coniugate in applicabilità si ha dando 

 ad S 0 la forma sferica. 



( 2 ) Lezioni, voi. II, § 344. 



