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Matematica. — Sur la multipUcation de deux séries de 

 factorielles. Nota di Niels Nielsen, presentata dal Socio U. Dini. 



Dans ines recherches (') sur les séries de factorielles de cette forme 



(1) ^ = % +!)(* + 2). ,.{x+T) • ^) > A ( 2 )' 



où le coeffìcients b s sont indépendants de x, j'ai démontré que toutes les 

 fonctions dèveloppables dans une telle serie doivent se présenter sous forme 

 d'une certame intégrale défìnie, savoir 



(2) Sì{%) = P l (p{t) t x ~ l di , 



J 0 



où la fonction tp(t), la fonction generatrice de Sì(x), doit satisfaire aux con- 

 ditions suivantes: 



1°. <f(t) doit étre holomorpbe aux environs du point t = 1 , de facon 

 que la serie de puissances correspondante 



(3) 9(1 — t) = b 0 + hi + hi + b 3 t 3 + • • • , 



où les coeffìcients b s sont les mémes qui fìgurent dans la sèrie de facto- 

 rielles (1), a son rayon de convergence égal à 1 au moins. 



2°. Si le point t — 0 est point singulier de <p(t), il doit étre tei que 

 (f(t) ait pour t = -j- 0 , des dérivées d'un ordre quelconque ; de plus, soit 

 (p<- p) (t) la première de ces dérivées, p étant un positif entier fini, qui de- 

 viendra infmi pour ^ = — | — 0 , il doit étre possible de déterminer un nombre 

 réel et tini A, tei que 



(4) lim 



t =-4-0 



selon que 1fc{x) < A. 



La désignation i = -\-0 indique comme ordinairement que la quantité t 

 destinée à décroìtre indéfìniment doit étre considerée toujours comme positive. 



Nous désignons A comme premier nombre caractéristique de la fonction 

 generatrice tp{t). 



i 1 ) Comptes rendus, 30 décembre 1901, 20 janvier 1902. Annales de l'École Normale, 

 t. 19, pp. 409-453, 1902. 



( 2 ) lei et dans ce qui suit la lettre gothique £R(X) désigne la partie réelle de x. 



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