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3°. Il esiste, en vertu de la serie de puissances (3), un autre nombre 

 réel A', tei que 



(5) lim 



t=i— o 



(p (n) (t) 



r(x-\-n-\-l) 



lev] 



selon que dì(x) < l\ et pourvu que n soit plus grand que ou égal à un 

 certain nombre positif entier N. E et £ désignent deux nombres positifs 

 respectivement aussi grand et aussi petit qu'on le veut ; X' est designò comme 

 second nombre caractéristique de (p(t). 



Inversernent, cornine le montre clairement des intégrations par parties, 

 toutes les intégrales défìnies de la forme (2) sont développables en sèrie de 

 factorielles de la forme (1). 



Quant au champ de convergence de la serie de factorielles ainsi obtenue, 

 il se détermine à l'aide des deux nombres caractéristiques l et l' de la ma- 

 nine suivante: 



1°. Si le point t = 1 est le seul point singulier de <p(l — t) situé 

 dans la circonférence du cercle |^|=1 (c'est-à-dire t = -\-0 poury(/)), la 

 serie de factorielles iì(x) est convergente dans le demi-plan situé à droite 

 de la ligne 3ì(x) = X perpendiculaire à l'axe des nombres réels. 



2°. Supposons que (p(l — t) n'ait pas des points singuliers dans la cir- 

 conférence du cercle susdit, la sèrie iì(x) est convergente dans toute l'étendue 

 du pian des x. 



3°. Dans le cas où </>(l — t) a des points singuliers dans la circon- 

 férence susdite, outre t = l, la sèrie Sì(x) est convergente, pourvu que )R(x) 

 soit plus grand que X et X' à la fois. 



4°. Si le point t=l n'est pas singulier de g>(t), le cbamp de con- 

 vergence de &(x) est limité par la ligne droite )H(x) = X'. 



Cela posé, on voit que les séries de factorielles présentent cette pro- 

 priété singulière: 



Il peut arriver que l'on trouve dans le champ de convergence de Q{x) 

 des points isolés 0 , — 1 , — 2 , ... qui sont des póles simples ; mais la sèrie 

 ii(x — co), où co désigne un tei point J et toujours convergente, pourvu que 

 \x — w\<^€, où s désigne une quantità positive aussi petite quon le veut. 



Cette propriété d'une sèrie de factorielles,' savoir que la limite de son 

 cbamp de convergence n'est pas nécessairement déterminée par le premier 

 point singulier de la fonction en question, est d'un point de vue analytique 

 d'un intérèt extrèmement grand. 



De plus, nous aurons eette autre propriété singulière: 



Supposons convergente la sèrie &(x) , il(x-{-\) sera toujours absolu- 

 ment convergente ; c'est-à-dire que nous aurons constamment cette valeur 

 limite: X — X' = 1. 



