En effet, posons 



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„ , , 1.2.3...(« — l).n x i • n / \ « x 



r n {x) = — — — t — - — j — , hm r n {%) = r{x) , 



x(x-{-l) ... {x-\-n — 1) n =S 

 puis mettons x = t -f- if\ , x r == £'-{- ir}' , nous aurons évidemment 



(6) 



s'Qg'+l) ...(#'+» — !) 

 x (x -f- 1) ... (# -{- % — 1) 



r n (x') 



ce qui nous conduira immédiatement à la proposition susdite. 



Dans mes recherches susdites j'ai étudié, à l'aide des conditions précé- 

 dentes, quelques-unes des opérations analytiques fondamentales effectuées sur 

 une serie de factorielles ; dans la Note que voici je me suis propose d'étudier 

 la multiplication de deux séries de factorielles, opération fondamentale qui 

 nous conduira aussi à des propriétés très singulières de telles séries. 



A cet égard, introduisons cette nouvelle serie de factorielles 



ou bien 



(8) i2x(a?)= )V(0 tx ~ l dt ' 



et désignons par l y et X[ les deux nombres caractéristiques de xp(t) , nous 

 verrons tout d'abord que dans le domaine commun de convergence absolue 

 de Sì(x) et &i(x) on peut multiplier ces deux séries en appliquant la règie 

 de Cauchy. Cependant, une telle méthode semble etre presque impossible 

 pour démontrer que le produit Si{x) . Sìi(x) est développable en serie de 

 factorielles et pour la détermination de la fonction génératrice correspondante. 

 C'est pourquoi nous avons à suivre un chemin entièrement différent. 



En effet, étudions d'abord le cas particulier, où l'une des séries de 

 factorielles en question se réduit à un seni terme, savoir à 



n ! c n 



x{x + 1) ... (x -j- n) ' 



nous avons avant de tout à développer en sèrie de factorielles le produit par- 

 ticulier ainsi obtenu. 



Pour trouver un tei développement écrivons sous cette forme la for- 

 mule (2): 



